Цель. Ввести понятия квадратного уравнения, неполного квадратного уравнения и приведенного. Научить учащихся отличать квадратное уравнение и его виды от других уравнений. Выработать умение находить коэффициенты квадратного уравнения.

     Развивать логическое мышление учащихся, память.

     Воспитывать культуру математической речи учащихся. Прививать интерес к математике.

Тип урока: формирование знаний.

Наглядность и оборудование: мультимедийная доска, листы с опорными конспектами.

          Структура урока.

I.Организационный момент (1 мин)

II.Проверка домашнего задания (2 мин)

III.Формулирование темы и целей урока (1 мин)

IV.Актуализация опорных знаний и умений учащихся (4-6 мин)

V.Формирование знаний (10-12 мин)

VI.Формирование умений (10-15 мин)

VII.Итоги урока (5 мин)

VIII.Домашнее задание (3 мин)

       Ход урока

I.Организационный момент.

  Проверка рабочих мест. Приветствие учеников.

II. Проверка домашнего задания.

   Консультанты проверяют наличие письменного решения тестовых заданий № 3 с.182 (Учебник: Алгебра: учебник для 8 кл. общеобр.учеб.заведений/ Г.П.Февз,В.Г.Бевз.-К.:Зодіак-ЕКО,2008.-256с.)

III. Формулирование темы и целей урока. Слайд 2

IV. Актуализация опорных знаний и умений учащихся. Слайд 3

   Для успешного восприятия учащимися содержания учебного материала урока следует активировать их знания и умения выполнять тождественные преобразования целых выражений, определять корни уравнений с одной переменной, решать линейные уравнения с одной переменной и уравнения, которые к ним сводятся.

    Устно

1.Запишите в виде многочлена выражение:

1) (х-5)²;    2) (х+3)·(2-х);   3) у(2у³-у);     4) (а+6)·(4-а).

2.Решите уравнения:

1) х+5=0;   2) х-0,7=0;     3) 9а=0     4) ׀х׀=2;      5) в(в-4)=0;     6) х²-3=0;     7) 4х²+16=0;     8) ׀х+12׀=0;    9) (х+6)·(7-х)=0;     10) 13:у=2.

3.Задача.

Длина стороны прямоугольника на 4 см больше его ширины. Найдите стороны прямоугольника, если его площадь равна 60 см².

  Решение.

На доске записывается уравнение: х·(х+4)=60;   х²+4х-60=0.

Вопросы классу:

 1.Как называется данное уравнение?

 2.Как его решить?

V. Формирование знаний.

     План изучения нового материала

1. Определение квадратного уравнения. Коэффициенты квадратного уравнения.
2. Неполное квадратное уравнение, его виды.
3. Приведенное квадратное уравнение.

Слово учителя:

Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь.

   Её нельзя не любить - её можно только не знать.

Исторические сведения. Слайд 5-6

   Задачи на квадратне уравнения впервые встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499г. Индийским математиком и астрономом Ариабхатой. Другой индийский ученый – Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений, которое практически совпадает с современным.

   В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следущее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задания». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

   Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

             Обезьянок резвых стая

             Власть поевши, развлекалась.

             Их в квадрате часть восьмая

             На поляне забавлялась,

             А двенадцать по лианам

             Стали прыгать, повисая…

             Сколько ж было обезьянок

              Ты скажи мне, в этой стае?

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратного

уравнения.

   Квадратные уравнения умели решать вавилоняне около 2000 лет до н.э. Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и полные уравнения.

   Формы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абаха», написанной в 1202 году, итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и впервые в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Виет знаменитый французский ученый по профессии адвокат. Итальянские ученые Тарталья, Кардано, Бомбелли  среди первых XVI в.учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в.благодаря трудам Жиррара, Декарта, Ньютона и других ученых, способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

1.Определение квадратного уравнения. Коэффициенты квадратного уравнения. Слайд 7

Уравнение вида ax² +ab+c =0, где х – переменная, а,b,c – некоторые числа, причем, а≠0, называется квадратным.

 Числа a, b и с – коэффициенты квадратного уравнения;

   a – первый коэффициент;

 b – второй коэффициент;

 c – свободный член.

    Примеры.

   3х²  + 2х – 1 =0 – квадратное уравнение; 

1. = 3 – первый коэффициент;
2. = 2 – второй коэффициент;

    c = -1 – свободный член.

 2.Неполные квадратные уравнения, его виды. Слайд 8

Если в квадратном уравнении хоть один из коэффициентов b или с равен нулю, то квадратное уравнение называется неполным квадратным уравнением.

   Три вида неполных квадратных уравнений:

1.Если b =0, c≠0, то ах² + с =0.

2.Если  c=0, b≠0, то ах² +bх=0. 

3. Если  b=0, c=0, то ах² =0.

        Решение неполных квадратных уравнений.

Первое уравнение решаем коллективно, второе уравнение решает первый вариант, а третье – второй вариант. Потом сводим решения в таблицу.

1. ах²+с=0.

Перенесем слагаемое  с  в правую часть уравнения и разделим обе части на а (а≠0):​

а) Если  – , то уравнение х²=   имеет два корня: х₁= ;   х₂= - . Или записывают еще так: х_{1,2 =} .

б) Если , то уравнение  х²=   корней не имеет ( корень квадратный из отрицательного числа не существует).

 2. ах²+bx=0.

Левую часть уравнения разложим на множители, вынесем общий множитель за скобки:  x(ах+b)=0;  отсюда: если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из них равен нулю.

х=0   или    ах+b=0

  х=0  или   х=   

Вывод: уравнение   ах²+bx=0  имеет два корня:   х₁=0,   х₂= .

 3. ах²=0.

Обе части уравнения  ах²=0  разделим на  а ( а≠0), получим уравнение  х²=0, имеющее единственный корень х=0.

х²=0;  х· х=0; если произведение нескольких множителей равно нулю, то хотя бы один из множителей равен нулю, то есть х=0, следовательно, два одинаковых корня, равных нулю.

3.Приведенное квадратное уравнение.

Квадратное уравнение, первый коэффициент которого равен 1, называется приведенным.

    ax²+bx+c=0;  если а =1, то имеем уравнение:  x²+bx+c=0.

Любое квадратное уравнение можно свести к приведенному квадратному уравнению. Для этого необходимо разделить обе части уравнения на первый коэффициент, то есть а.

     - приведенное квадратное уравнение.

  Для решения приведенных квадратных уравнений пользуются теоремой Виета.

Которую мы изучим немного позже.

VI. Формирование умений.

          Устно

1. С данных уравнений выбрать квадратные. Слайд 9
2. Определить коэффициенты квадратных уравнений. Слайд 10
3. Первичное закрепление. Решение уравнений. Работа с учебником.

№ 870 (а,б), № 871(а,б), № 872 (а,б).

Решение

№ 870

  а) 16х²=0          б) – 4у²=0  

    х²=0              у²=0 

      х=0               у=0

Ответ: а) х=0;   б) у=0. 

№ 871

а) 2х² – 8х=0                б) х²+3х=0  

  2х(х – 4)=0                х(х+3)=0 

  2х=0 или х – 4 =0            х=0 или х+3=0

   х₁=0 или х₂= 4               х₁=0 или х= - 3

Ответ: а) 0; 4;     б) 0; - 3.

№ 872

а) х² – 144=0          б)  9х²=64

    х²= 144             х²=   

    х_1,2= ± 12            х_1,2= ±  = ± 2   

Ответ: а) ± 12;      б) ± 2 .

VII. Итоги урока.

Задание высвечивается на доске. По окончанию решения задания, ученики меняются тетрадями (работают в парах) и проверяют тестовые задания с помощью доски, на которой показаны правильные ответы.

Тестовые задания.

1.Квадратным является уравнение:         

а) 1+х-х²=0;     б) х²-х³+4=0;     в) (7-х²)(2+х²)=0;       г) х+9=2х.

2.Неполным квадратным является уравнение:

а) х+6=0;        б) х²-27=0;      в) х²-3х³=0;         г) х⁴=0.

3.Приведенным квадратным является уравнение:

а) х²+2х-3=0;     б) 45-7х+21х²=0;       в) х+6-4х²=0;      г)х+6х²=0.  

4.Вставьте пропущенное число.

Ответы. Слайд 12

1.а)      2. б)      3) а)       4) 24.

Оценивание проводится с помощью смайликов.

VIII. Домашнее задание. Слайд 13

Выучить теоретический материал урока. Читать § 19, № 867, № 869.