Цели  и задачи

 - актуализировать знания учащихся по теме «Решение тригонометрических уравнений» и обеспечить их применение при решении задач вариантов ГИА;

- рассмотреть общие подходы решения тригонометрических уравнений;

- познакомить с новыми способами решения тригонометрических уравнений;

- вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;

- способствовать формированию активности и настойчивости, максимальной работоспособности;

-сформировать навыки сотрудничества с одноклассниками;

-сформировать навыки в приобретении знаний;

-сформировать навыки творческого использования ИКТ

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний  с элементами:

*проектной деятельности;

*практической работы;

*использованием ИКТ.

Оборудование:

*мультимедийный проектор, компьютер;

*презентация с планом урока,заданиями для устной работы, самостоятельной работы и текста домашнего задания;

*тексты и презентации для выступлений групп.

                                                  Ход урока.

 1.1.Организационный момент.

Задачи: обеспечить внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически настроить учащихся к общению.

Учитель. Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке вы сможете обобщить и систематизировать знания по решению тригонометрических уравнений,  основные и специальные методы их решения, рассмотреть задания ГИА.В ходе урока  проверите степень своей готовности к предстоящей контрольной работе. К концу урока постарайтесь зафиксировать свои ошибки  (сколько, какие).

 Работаем по следующему плану: ( презентация учителя)

 Устная разминка

Решение уравнений базового уровня

Решение уравнений повышенного уровня

Решение заданий ГИА.

Подведение итогов

1.2. Устная работа.

Учитель: Используя основные формулы тригонометрии, упростите выражение:

На экране проецируется задание с презентации учителя:

Учитель:  Ребята, давайте вспомним свойства четности и нечетности тригонометрических функций, значения тригонометрических функций для различных углов поворота, применение формул приведения

Учащиеся формулируют свойства четности и нечетности, правило применения формул приведения, называют значения тригонометрических функций для различных углов поворота.

Учитель:  А теперь вспомним определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса.

Учащиеся дают определения обратных тригонометрических функций, обращая внимание на область определения и множество значений.

Учитель:  Выполним следующую работу.  Вычислите:

На экране проецируется задание с презентации учителя.

  2. Актуализация опорных знаний и действий учащихся.

2.1. Повторение (чередование групповой и индивидуальной форм работы с последующей проверкой задания).

Учитель:   перейдем к решению простейших тригонометрических уравнений. Напомните, пожалуйста, формулы решения уравнений вида sinx =а,  cosx = а, tg х=а. Выступает представитель 1-й группы (См.презентацию)

Учитель: Рассмотрим основные методы решения тригонометрических уравнений. Выступает представитель 2-й группы (См. презентацию)

 Учитель: Рассмотрим  уравнения, где необходимо выполнить отбор корней. Выступает представитель 3-й группы (См. презентацию)

Физкультминутка.

Учитель:  Ребята, а сейчас давайте немного отдохнем. Для этого я предлагаю выполнить  упражнение.

Упражнение. Цель этого упражнения - устранение вредных эффектов от неподвижного сидения в течение длительного периода времени.В положении стоя положите руки на бедра.

Медленно отклоняйтесь назад, глядя на небо или в потолок.

Вернитесь в исходное положение.

Повторите 10 раз.

Учитель:  А теперь самостоятельно решите уравнения.

 На экране проецируется задание.( См. презентацию учителя)

1.2cosx-√3 =0

2.s¡n2x=-√3/2

3.2cos(x-π/4) =-1

4.tq²x­6tqx +5=0

5.( 2s¡nx -1)(cosx-1)=0

Учитель:   Ребята, проверьте свое решение с  ответами и оцените себя по критериям(количество баллов соответствует числу решенных заданий)

На экране проецируются ответы ( См. презентацию учителя)

Озвучиваем результаты самостоятельной работы.

3. Выполнение задач, поставленных перед учащимися.

3.1. Знакомство с уравнениями повышенной сложности и заданиями ГИА.

Учитель: А сейчас познакомимся  с решением тригонометрических уравнений новыми способами: Выступают представители  4-й группы.Работа у доски.

А) метод введения нетрадиционной замены при решении симметричных тригонометрических уравнений

Введем понятие симметричного уравнения

Пусть R (х; у) – выражение, которое рационально зависит от х и у. Такое выражение называют симметричным, если R (х; у) =  R (у; х).

Рассмотрим уравнение  4 sin х  - 6 sinх  cos х + 4  cosх + 1 = 0,

т.к. (sin x + cos x)² = 1 + 2 sin x  cos x, то  sinx ·cos x =1 ∕ 2((sin x + cos x)² - 1 ) , получим                                                

4 sin х  + 4  cosх  -  3  ( (sin x + cos x)² – 1) + 1  = 0,

Введем обозначение  t = sin x + cos x, получим

4 t – 3 (t² -1) + 1  = 0

– 3 t²  + 4 t + 4 = 0

3 t²  - 4 t - 4 = 0. Решая квадратное уравнение, найдем t ₁   =  2, t ₂  = -2/3, после чего переходим к решению уравнений sin х  +  cosх    = 2   и   sin х  +   cosх  = -2/3

Б) метод разложения на множители.

Рассмотрим более сложное уравнение, решаемое методом разложения на множители:

4 sin ³ х  + 3 sin  х  - 7 = 0.

Легко можно заметить, что 4 + 3 = 7 или   4 ·1 ³   + 3 · 1  - 7 = 0.

Выполним преобразование

4 sin ³ х  + 3 sin  х   - 7 – (4 · 1 ³   + 3 · 1   - 7 ) = 0

или  4 ( sin ³ х  - 1 )  + 3 ( sin  х  - 1 )  = 0.

Разложим на множители:   4 ( sin  х  - 1 ) ( sin ² х   + sin  х  +1 ) + 3 ( sin  х  - 1 ) =0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4 ( sin ² х   + sin  х  + 1) + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin ² х   + 4  sin  х  + 4 + 3 ) = 0

                                                ( sin  х  - 1 )   ( 4  sin ² х   + 4  sin  х  + 7 ) = 0, откуда

                                                   sin  х  - 1  = 0    или   4  sin ² х   +4  sin  х  + 7  = 0

                                                 х = π/2 + 2пk,  k  Z                           решений нет

В) метод оценки левой и правой частей уравнения

Рассмотрим уравнение sin x/4   + 2 cos (x- 2 π)/3   = 3

Вспомним, что            – 1 ≤ sin     ≤ 1

                                – 2 ≤  2 cos  (x-2 π)/3  ≤ 2

                           – 3 ≤  sin x/4  +  2 cos(x-2 π)/3  ≤ 3.

              Исходное уравнение будет иметь решение тогда  и только тогда, когда одновременно выполняются равенства:

sin  x/4    = 1  и   2 cos (x-2 π)/3 = 2 

sin  x/4    = 1 

cos (x-2 π)/3 = 1 .  

Решая уравнение sin x/4    = 1, получим х = 2 π+ 8πn,   n   Z.

 Решая уравнение cos (x-2 π)/3 = 1, имеем  (x-2 π)/3 = (2 π+ 8πn - 2 π)/3. Или (x-2 π)/3 = 8πn /3.

Итак, cos 8πn /3 = 1.

Это возможно только в тех случаях, когда, n  делится нацело на 3, т.е.  n = 3 k, k   Z.

Значит,  решением исходного уравнения являются числа вида  х = 2 π + 24 π k, k   Z.

3.2.Задачи ГИА.

Учитель: А сейчас познакомимся  с решением тригонометрических уравнений из сборника ГИА.. Рассмотрим виды заданий и оформление этих заданий.

Выступает представитель 5-й группы ( См. презентацию)

Предлагается решить самостоятельно и проверить по готовым решениям. ( См. презентацию )

4. Рефлексивно-оценочная часть урока.

4.1. Обсуждение результатов индивидуальной работы.

Учитель: А теперь  оцените свою работу на уроке. 

4.2. Информация о домашнем задании.

1.  cos⁶х  + sin⁶ х   = 16 sin² х  cos²х;

2. sin³ х  + 3 sin х  - 4 = 0

3.  2 (  сosх  + sin х )  + sin 2 х  + 1 = 0

4.3. Подведение итогов урока.