Цели урока:
Образовательные:
- ввести понятие сечения многогранника;
- рассмотреть способы решения задач на построение сечений многогранников на основе аксиоматики.
Развивающие:
- развивать пространственное воображение обучающихся;
- формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли;
- совершенствовать графическую культуру.
Воспитательные:
- воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации;
- воспитывать уважение к предмету, умение видеть геометрические задачи в окружающем нас мире.
Тип урока – изучение нового материала.
Форма урока – урок-практикум.
Формы организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.
Оборудование:
- таблицы «Аксиомы планиметрии и стереометрии»,
- электронное приложение к уроку «Мультимедийная презентация (анимационный слайд-фильм)» Microsoft PowerPoint, электронное «Приложение 1»,
- компьютер, беспроводная мышь, мультимедийный проектор,
- модели многогранников.
- листы формата А4 с готовыми чертежами многогранников для выполнения практической части, «Приложение 2», лист Microsoft Excel.
Оформление доски.
- Запись темы урока.
- Аксиомы А2, А3 (таблицы).
- Таблица для проведения исследования.
|
?
|
Многогранник.
|
n – число сторон сечения.
|
|
?
|
Треугольная пирамида.
|
?
|
|
?
|
Четырехугольная пирамида.
|
?
|
|
?
|
Параллелепипед.
|
?
|
Структура урока
|
Вид деятельности.
|
Время
|
|
1. Организационный момент. Постановка цели урока.
|
1
|
|
2. Повторение изученного материала. Аксиомы.
|
2
|
|
3. Построение простейших сечений на основе аксиом. № 1, 3, 5.
|
4
|
|
4. Исследование зависимости числа сторон сечения от вида многогранника.
|
2
|
|
5. Построение сечений многогранников на основе свойства параллельных плоскостей. № 7, 8, 9(г)
|
8
|
|
6. Тренировочные упражнения. Скрещивающиеся и пересекающиеся прямые.
|
4
|
|
7. Экскурс «Невозможные объекты»
|
3
|
|
8. Решение задач. Метод следов. № 10, 11, 12, 13.
|
20
|
|
9. Домашнее задание.
|
1
|
Ход урока.
1. Сообщение темы и цели урока. (Демонстрация слайд-фильма. Слайды 1-2.)
Для решения многих геометрических задач, связанных с многогранниками, полезно уметь строить на рисунке их сечения различными плоскостями. Сегодня мы научимся строить сечения.
Как видим на модели (демонстрация модели), секущая плоскость пересекает грани тетраэдра по отрезкам. Многоугольник, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра.
Построить сечение многогранника плоскостью – это значит указать точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогранника и соединить эти точки отрезками, принадлежащими граням многогранника. Для построения сечения многогранника плоскостью нужно в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению, соединить их прямой и найти точки пересечения этой прямой с ребрами многогранника [5].
2. Повторение. (Повторим формулировки аксиом А2, А3).
А2. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
А3. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.
Таким образом, для построения сечения многогранника плоскостью необходимо в плоскости каждой грани указать две точки, принадлежащие сечению. Рассмотрим примеры построения простейших сечений.
|
|
Слайд 3. Задача №1.
Объяснение учителя.
Точки Н и К принадлежат грани АВВ1А1 и принадлежат сечению. Значит, соединяем их отрезком.
Аналогичные комментарии для точек К и N, Н и N.
|
|
Учитель контролирует выполнение построений учащимися в тетрадях, свободно перемещаясь по классу и управляя презентацией, демонстрируя каждый шаг построения, используя мышь с дистанционным управлением.
Задача №2 для домашней работы(просмотр).
При демонстрации задачи №2 следует обратить внимание на то, что, если, например, у пирамиды «срезать» его вершину, получится новый многогранник – усеченная пирамида.
|
|
|
Слайд 4. Простейшие сечения.
Задача №3, выполнить построение в рабочих тетрадях
Задача №4 для домашней работы, (просмотр).
|
|
|
Слайд 5. Диагональные сечения параллелепипеда.
Задача № 5, пошаговое выполнение построений в рабочей тетради.
Задача №6 для домашней работы, (просмотр).
|
|
Слайд 6, просмотр. Выполняя простейшие сечения, мы можем получить необычные многогранники. Например, кубооктаэдр получим, если у куба «срежем» все его восемь вершин. [6].
|
|
Слайды 7-12.
|
|
Проведем небольшое исследование.
Цель исследования: установить, сколько сторон может иметь сечение различных многогранников?
Фронтальная работа с классом. Один ученик работает у доски, заносит результаты в таблицу.
Работа класса. Поиск закономерности.
Треугольная пирамида. n=3, 4.
Четырехугольная пирамида. n=3, 4, 5.
Параллелепипед. n= 3, 4, 5, 6.
В сечении треугольной пирамиды получится треугольник или четырехугольник. Многоугольник с большим числом сторон получиться не может, т. к. граней у тетраэдра всего 4! И т.д.
Вывод, обобщение результатов.
|
| |
|
|
Заполненная таблица исследования.
|
Число граней многогранника.
|
Многогранник.
|
n – число сторон сечения.
|
|
4
|
Треугольная пирамида.
|
3, 4
|
|
5
|
Четырехугольная пирамида.
|
3, 4, 5.
|
|
6
|
Параллелепипед.
|
3, 4, 5, 6.
|
|
Слайды 13-15.
|
Работа класса.
|
|
|
Слайд 13. Свойство параллельных плоскостей.
Учащиеся дают формулировку свойства.
Учитель выводит на экран словесную формулировку.
Это свойство нам поможет при построении сечений.
Cлайд 14. Задача № 7. Построим сечение, используя свойство параллельных плоскостей.
Cлайд 15. Задача № 8.( Геометрия Л.С. Атанасян, 10-11. Задача № 87(a [4] ).
Изобразите параллелепипед АВСDА1В1С1D1 и постройте его сечение плоскостью МNК, где точки М, N и К лежат соответственно на ребрах ВВ1, АА1, АD.
|
Устная работа.
Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны.
Осмысление шагов построения.
Задачи № 7, 8. Комментированное
построение в рабочей тетради .
|
|
|
Слайды 16-17.
|
Работа класса.
|
|
|
(Геометрия Л.С. Атанасян, 10-11[4] ).
Слайд 16. Задача № 82 (а, б, в) для домашней работы, просмотр.
Дан наклонный параллелепипед АВСDА1В1С1D1
Отметьте внутреннюю точку M грани АА1В1В.
Постройте сечение параллелепипеда, проходящее через т. М параллельно:
а) грани ВВ1С1С;
б) плоскости основания АВСD;
в) изобразите отрезок, по которому эти сечения
пересекаются.
Демонстрируя слайд 16, напоминаю алгоритм построения наклонного параллелепипеда.
Слайд 17. г) плоскости ВDD1
|
Устная работа.
Задача 9 (а, б, в).
Комментирование шагов построения.
Практика.
Задача 9(г) [4]. Построение в рабочей тетрадир.
|
|
|
Слайды 18-23.
|
Работа класса.
|
|
Блиц-опрос. Фронтальная работа с классом.
К компьютерной демонстрации плоских чертежей обязательно необходимо добавить показ объемных моделей. Параллелепипед, пирамида, прямые, чтобы все обучающиеся увидели скрещивающиеся прямые или пересекающиеся прямые.
Еще раз акцентировать внимание обучающихся на формулировке аксиомы А3.
|
Примерные ответы.
Слайд 23. Прямые МО и АВ пересекаются, т.к. лежат в одной плоскости (АDС). Прямые МО и АВ не пересекаются, т.к. лежат в разных плоскостях (АDС) и (АDВ). Эти плоскости пересекаются по прямой АD, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
|
| |
|
|
|
|
|
Слайды 24-27.
Многие художники, искажая законы перспективы, рисуют необычные картины. Эти рисунки очень популярны среди математиков. В сети Internet можно найти множество сайтов, где публикуются эти невозможные объекты.
|
|
Популярные художники Морис Эшер, Оскар Реутерсвард, Жос де Мей удивляли своими картинами математиков.
Слайд 26. На картине есть нарушение изображения. В чем оно проявляется? Какая нарушена аксиома? (аксиома А3)[4].
Приведем еще примеры нарушения аксиом:
- Слайд 27. Законы геометрии часто нарушаются в компьютерных играх. Например, встречаются «невозможные лестницы». Нарушена аксиома A2[4].
|
|
|
Слайд 28. Метод следов.
Вернемся к задаче 7.
Построим сечение другим способом.
Для построения более сложных сечений пользуются методом следов.
В названии – суть метода.
Если плоскость грани многогранника и плоскость сечения имеют две общие точки, то они пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Эту прямую называют линией пересечения данных плоскостей. Плоскость сечения многогранника имеет общие прямые с плоскостями граней многогранника. Прямую, по которой плоскость сечения пересекает плоскость любой грани многогранника, называют следом плоскости сечения. Следов столько, сколько плоскостей граней пересекает плоскость сечения. [2]
|
|
Объяснение учителя:
Точки Н и N лежат в плоскости (АВC), тогда в этой плоскости лежит отрезок НN. Проведем его. Это след секущей плоскости (NНК) на грани АВC.
Так как точки Н и К лежат в плоскости (АВВ1), то в этой плоскости лежит отрезок НК. Проведем его. Это след секущей плоскости (NНК) на грани АВВ1А1. Проведем прямую НК - это след плоскости (NНК) на плоскости (АВВ1). Находим точку X, в которой прямая НК пересекает ребро ВВ1. Точка X – это след плоскости (NНК) на ребре ВВ1.
Так как точки X и N лежат в плоскости (CBB1), то прямая XN лежит в этой плоскости. Проведем прямую XN – это след плоскости (NНК) на плоскости (ВСС1). Точка О – след плоскости (NНК) на ребре В1С1. Отрезок ОN - след плоскости (NНК) на грани ВСС1В1. Так как точки О и N лежат в плоскости (А1В1С1), то в этой плоскости лежит отрезок ОN. Проведем его. Получен четырехугольник НКОN – искомое сечение.
|
|
|
Слайд 29.
Задание с ошибкой. [6].
Задача № 10.
На рисунке точки М и N не принадлежат ни одной из граней тетраэдра, поэтому отрезок находится внутри тетраэдра. Исправим ошибку на чертеже методом следов. Построение в рабочей тетради.
|
|
Объяснение учителя:
Строим прямую КМ – это след плоскости (NКМ) на плоскость (АDC).Находим точку X, в которой прямая КМ пересекает прямую, содержащую ребро АС. Точка X – это след плоскости (NКМ) на ребре АС. Так как точки X и N лежат в плоскости (АВС), то прямая XN лежит в этой плоскости. Проведем прямую XN – это след плоскости (NКМ) на плоскости (АВС). Точка R – след плоскости (NКМ) на ребре АВ. Так как точки R и N лежат в плоскости (АВС), то в этой плоскости лежит отрезок RN. Проведем его.
Полученный четырехугольник RМКN – искомое сечение.
|
|
|
Cлайд 30.
Задача № 11.
Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки О=D1C1, К=A1B1, Н=AB.
Построение сечения по готовым чертежам ( на листах А-4) в рабочей тетради .
|
|
|
Cлайд 31.
Задача № 12.
Дан параллелепипед АВСDА1В1С1D1.
Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки S=D1C1, К=СС1, N=ВС.
Построение сечения по готовым чертежам ( на листах А-4) в рабочей тетради
|
|
|
Cлайд 32. Задача № 13.
Построить сечение четырехугольной пирамиды SABCD плоскостью, проходящей через точки М=SD , Р=AS и К, где К принадлежит плоскости a.
Построение сечения по готовым чертежам ( на листах А-4) в рабочей тетради
|
|
|
Cлайд 33.
Задача №14
Для домашней работы (просмотр). Прокомментировать этапы построения.
Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. [3].
Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки Е и Р параллельно прямой а.
|
Домашнюю работу учащиеся выполнят в тетрадях для «Домашнчих работ»
· Чертежи многогранников есть, необходимо будет построить сечения.
· Задачи № 2, 4, 6, 9 (№82, [4]).
· Задача № 14* повышенного уровня сложности (Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. [3]).
Список литературы.
- Геометрия: Учебник для общеобразовательных учебных заведений, профильный уровень, для 10 класса / Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова, В.Н.Владимиров. – К.: Генеза, 2010., – 232 с.:ил. – Библиогр.: с 221, ISBN 978-966-504-997-5.
- Геометрия: 10 кл.: академ. Уровень: учебн. Для общеобразоват. Учебн. Завед.: Пер. с укр./ О.Я.Билянина,, Г.И.Билянин, В.А.Швец. – К.: Генеза, 2010.-256 с.: ил. ISBN 978-966-11-0023 -6.
- Зив Б.Г. Дидактические материалы по геометрии для 10 класса. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1997. – 144 с.: ISBN 5-09-007468-2.
- Геометрия: Учеб. Для 10-11 кл. общеобразова. учреждений / Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др. – 9-е изд., с изм. – М.: Просвящение, 2000. – 206 с.:ил. – ISBN 5-09-008612-5.
- Справочное пособие по методам решения задач по математике для средней школы. Цыпкин А.Г, Пинский А.И./Под. редакцией В.И.Благодатских . – М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983. – 416 с.
- Александров А.Д. и др. Геометрия для 10-11 классов: Учеб. пособие для учащихся шк. и классов с углуб. изуч. Математики / А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик.– 4-е изд., перераб. – М.: Просвещение, 1994. – 464 с.: ил.– ISBN 5-09-006089-4
- Дорофеев Г.В., Петерсон Л.Г. Математика. 6 класс. Часть 3. – М.: «Баласс», «С-инфо», 2002. – 176 с., ил. – ISBN 5-85939-301-6 («Баласс») ISBN 5-85429-031-6 («С-инфо»)
|
