Цель урока:  Формирование понятий о четырёхугольниках и их элементах. Параллелограмм и его свойства.

Ход урока.

1. Организационный момент.
2. Мотивация  учебной деятельности.
3. Усвоение новых знаний.

Определение.  Четырёхугольником наз. фигура, которая состоит из 4 – х точек, никакие 3 из них не лежат на одной прямой, и 4 – х отрезков, которые последовательно соединяют эти точки и не пересекаются.

                                      Элементы четырёхугольника

АВ, ВС, СД  и  АД – стороны четырёхугольника

А, В, С, Д – вершины четырёхугольника

АС и ВД – диагонали четырёхугольника

Р_АВСД = АВ + ВС + СД + АД  периметр четырёхугольника

Стороны и углы четырёхугольника могут быть соседними и противоположными.  АВ  и  АС,  АВ  и  ВС – соседние стороны;

АВ  и  СД, ВС  и  АД – противоположные стороны;

∠А  и  ∠В – соседние  углы, ∠С  и  ∠А – противоположные.

Опр. Отрезки, соединяющие противоположные вершины четырёхугольника наз. диагоналями.

Опр. Сумма длин всех сторон четырёхугольника называется периметром.

Четырёхугольники бывают выпуклые и невыпуклые.

Определение.  Если четырёхугольник лежит с одной стороны от  каждой прямой, которая проходит через 2 его соседние вершины, то он выпуклый

Тест с выбором одного правильного ответа:

1.Укажите пары противоположных сторон четырёхугольника.

 а)  АВ  и  ВС

б)  АД  и  ВС  

в)  ВД и  АС  

г)  АВ и  СД  

2.  Укажите пары соседних сторон четырёхугольника.   Варианты ответов те же.

3.  Укажите диагонали четырёхугольника. Варианты ответов те же.

4. a, b, c, d – стороны четырёхугольника, Р – его периметр. Заполнить таблицу:

Существование четырёхугольника.

Чтобы установить, можно ли из 4 – х отрезков построить четырёхугольник, проверьте, будет ли самый  длинный отрезок меньше суммы оставшихся трёх.

Теорема 1.1  Сумма углов четырёхугольника равна 360º.  ∠А + ∠В + ∠С + ∠Д = 360º.( рис. 1)

Определение.  Угол, смежный с углом четырёхугольника, наз. внешним углом четырёхугольника.

     Тест с выбором одного правильного ответа:

1. Найти градусную меру неизвестного угла.

а)  110º   В   ∠А = 61º, 

б)  97º        С      ∠В = 110º

в)  153º    А        ∠С = 92º

г)  90º        ∠Д -?   Д

2.  Найти градусную меру неизвестного угла.

а)  90º        В      ∠А = 60º, 

б)  75º    С      ∠В = 135º

в)  135º    А        ∠С?

г)  60º      ∠Д - 90º       Д

3.  Найти неизвестный угол четырёхугольника, если три его угла  равны  60º,  100º,  50º.

   а)  60º;   б)   100º;     в)    50º;    г)   150º.

4.  Какие из наборов углов могут быть углами четырёхугольника?

   а)    55º, 75º, 100º, 80º;    б)      160º, 95º, 45º, 60º;    в)     145º, 85º, 70º, 65º

Параллелограмм.

Определение. Четырёхугольник у которого противоположные стороны попарно параллельны наз. параллелограммом.

Определение.  Высотой параллелограмма  наз. перпендикуляр, опущенный из любой точки прямой, содержащей сторону параллелограмма, на прямую, содержащую противоположную сторону.

Свойства параллелограмма.

У параллелограмма:

1. Противоположные стороны и углы равны;
2. Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Тест с выбором одного правильного ответа:

1. В параллелограмме АВСД: АВ = 7см, ВС = 12 см. Найти: АД  и  СД.

а)  3,5  и  6;   б)  12  и  7;    в)    14  и  24;    г)   5  и  19.

2. В параллелограмме АВСД:∠С = 60º. Найти все углы параллелограмма.

а)  30º  и  60º и 60º;   б)  120º  и  60º и 120º;    в)   90º  и  60º и 90º;    г)    60º  и  60º и 120º;

3.  В параллелограмме KLMN, ∠MLK = 35º.  ∠LMN -?

а)   35º,     б)   145º,        в)     55º,          г)    70º.

4.  Какие из наборов длин отрезков могут быть длинами сторон и диагональю параллелограмма?

а) 5,  8,  14;   б)   7, 4,  9;           в)     25,  9,   14;    г)     134,  6,  9.

5.  АВСД – параллелограмм: АВ = 6см, ВС = 8 см, ВО = 3 см, АО = 5 см. Найти его диагонали.

а)  8  и  6;     б)     6  и  10;     в)   11  и  6;       г)    5  и  8.

6.  Найти углы параллелограмма, если его внешний угол равен 130º.

а)  130º  и  30º;    б)   115º  и  65º;    в)    130º  и  50º;    г)    260º  и  100º; 

7.  Найти углы параллелограмма, если один из них равен сумме двух других.

а)   30º  и  60º;    б)   40º  и  80º;      в)     100º  и  50º;    г)    120º  и  60º; 

8. Заполнить таблицу.

IV.  Д/з  А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:  §1, п. 1 и 2. Уметь отвечать на вопросы со стр.9 и 16. Выполнить   №№ 41, 46, 49, 53.

Урок 2.  Признаки параллелограмма. Решение задач.

Цель:  Изучить признаки параллелограмма. Формировать умения у учащихся применять свойства и признаки параллелограмма к решению задач.

Ход урока.

1. Орг. момент. Проверка дом. задания.
2. Актуализация опорных знаний.
3. Какую фигуру наз. четырёхугольником? Из каких элементов он состоит?
4. Какие бывают четырёхугольники?
5. Какой четырёхугольник наз. выпуклым?
6. Какие отрезки наз. диагоналями четырёхугольника?
7. Что наз. периметром четырёхугольника?
8. Чему равна сумма углов четырёхугольника ( т. 1. 1)?
9. Какой четырёхугольник наз параллелограммом?
10. Каким свойством обладают противоположные стороны и углы параллелограмма?
11. Каким свойством обладают диагонали параллелограмма?
12. Что наз. высотой параллелограмма?
13. Чему равна сумма любых двух соседних углов параллелограмма? Ответ обосновать.

3. Восприятие нового материала.

Признаки параллелограмма.

Теорема 3.1 (1 признак): Если в четырёхугольнике противоположные стороны равны, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 3.2(2 признак): Если в четырёхугольнике две противоположные стороны равны и

           параллельны,  то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Теорема 3.3 (3 признак): Если в четырёхугольнике диагонали точкой пересечения делятся

           пополам, то этот четырёхугольник – параллелограмм.

Тест с выбором одного правильного ответа.

1.  При каком условии KLMN – параллелограмм?

а)  KL = MN;          б)     KL = MN, KN = LM;     в)    KL = LM.

  2.  В 4 – х угольнике АВСД противоположные стороны попарно равны. Найти ∠А, если

     ∠С = 55º.

     а)  125º;    б)     55º;     в)     35º;      г)      110º.

  3.  В 4 – х угольнике АВСД противоположные стороны попарно равны. Найти АВ, если СД = 8.

      а)    10 см;      б)     8 см;        в)   64 см;     г)   16 см.

   4.  Какой из 4 – х угольников, три угла которого даны является параллелограммом?

      а)  20º,  60º,  120º;     б)  60º,  60º,  130º;     в)   40º,  40º,  140º;    г)  30º,  60º,  30º;

   5.  Дано:  ∆АВС = ∆А₁В₁С₁. Найти расстояние между точками В  и  В₁, если АА₁ = 6 см.

   В      В₁                 а)  3см;    б)   12 см;     в)   6 см;    г)   2 см.

   6.  Дано:  ∆АВС = ∆А₁В₁С₁. Найти расстояние между точками В  и  В₁, если АС = 10 см,

      А₁С = 4 см  ( рис. 1).    а)  10см;    б)   6 см;     в)   4 см;    г)   14 см.

   7.   Дано:  ∆АВС = ∆А₁В₁С₁. Найти расстояние между точками В  и  В₁, если АС = 20 см,

      А₁С = 6 см  ( рис. 1).    а)  32см;    б)   7 см;     в)   8 см;    г)   16 см.

  8.  В 4 – х угольнике АВСД, О – точка пересечения его диагоналей. Заполнить таблицу так,

    чтобы вывод был верным.

4. Решение задач по теме.

№ 51 Мерзляк, Полонский Геометрия 8 кл.

Дано:  АВСД – параллелограмм,  ВК ⊥ АД, АК = 4 см,

                                  КД = 6 см, ∠АВК = 30º.

    А  4  К   6    Д          Найти:   углы пар – ма,  Р_АВСД.

                    Решение.

1.  В ∆АВК ( ∠К = 90º, ∠В = 30º - по условию):  АВ = 2⋅АК = 8 см – по 2 свойству прямоугольного треугольника; ∠А = 90º - ∠В = 90º - 30º = 60º - по 1 свойству прямоугольного треугольника.
2. АД = АК + КД = 4 + 6 = 10 см.  АВ = СД = 8 см;  ВС = АД = 10 см и ∠А = ∠С = 60º;  ∠В = ∠Д = 180º – 60º = 120º по 1 свойству параллелограмма;
3. Р_АВСД = 2⋅ ( АВ + АД) = 2⋅ ( 8 + 10) = 36 см.

Ответ:  60º и 120º;  36 см.

5.  Д/з  А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:  §1, п. 3. Уметь отвечать на вопросы со стр. 25. Выполнить  №№ 58, 60, 96, 102.

Урок 3. Прямоугольник и его свойства. Решение задач. Диагностическая контрольная работа.

Цель:  Изучить свойства и признаки прямоугольника. Формировать умения у учащихся  применять свойства и признаки прямоугольника к решению задач.

Ход урока.

1. Орг. момент. Проверка дом. задания.

2. Экспресс – опрос учащихся.

1. Если в 4 – х угольнике:  а) противоположные стороны попарно равны то он является п – ом;

                       б)  если две противоположные стороны равны;

                       в)  если две соседние стороны равны;

                       г)  если два противоположных угла равны;

                      д)  если сумма 2-х соседних углов равна 180º;

                      е)  если противоположные углы попарно равны.

III.  Восприятие нового материала.

Определение.  Прямоугольником наз. параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойство прямоугольника ( т. 4.1 ) Диагонали прямоугольника равны.

Свойство прямоугольника ( т. 4.2 ) Если один из углов параллелограмма прямой, то этот

                                 параллелограмм – прямоугольник.

Признак прямоугольника ( т. 4.3)  Если в параллелограмме диагонали равны, то это прямоуг.

Тест с выбором ответа.

1. Найти периметр прямоугольника АВСД, если АВ = 10 см, ВС = 14 см;

  а)  24 см;    б)    28 см;     в)    48 см;     г)    34 см.

2.  В прямоугольнике АВСД:  АД = 15 см, СД = 20 см, АС = 25 см.  Найти:  ВД.

  а)  35 см;    б)    25 см;     в)    20 см;     г)    45 см.

3.  Дано:  АВСД – прямоугольник, ВД – диагональ, ∠ВДС = 46º. Найти: ∠АВД, ∠ДВС,

   ∠АДВ.

4.  Найти периметр прямоугольника, если его стороны равны 7 мм и 50 мм.

   а)  57 мм;    б)    120 мм;     в)    24 см;     г)    11,4 см.

5.  Найти диагонали прямоугольника, если их сумма равна 18 см.

  а)  10 см и  8 см;   б)  18 см  и  12 см;    в)    9 см  и  9 см;    г)   18 см  и  18 см.

6.  В прямоугольнике АВСД на стороне ВС взята точка К, ∠СДК = 40º. Найти: ∠ВКД,

   ∠СКД, ∠АДК.

7.  Найти диагонали прямоугольника АВСД, если АВ = 10 см, ∠АОВ = 60º.Геометрия,

   а)  10см  и  20 см;     б)    20см  и  20 см;    в)   30 см  и  30 см.

8.  Найти периметр прямоугольника АВСД. Точка К взята на стороне ВС: ВК = 3 см,

   КС = 5 см, ∠СДК = 45º.

   а)  16 см;      б)     32 см;      в)     26 см;      г)    25 см.

IV.  Диагностическая контрольная работа.

В – 1

1. Вычислить:  ( - 2)³⋅ ( - 1)².

2. Упростить:  ( а² ⋅ а³)³.

3.  Решить уравнение:  - 3х + 2 = 2х + 7.

4.  Решением системы уравнений

         3х + 4у = 7,     есть пара чисел…

         2х + 3у = 5

5. Установить соответствие между данными выражениями ( 1 – 4) и разложе –

   нием этих выражений на множители  ( А – Д)

6.  Найти координаты точки, в которой график уравнения 3х – у = 2 пересекает

    ось ординат.

7.  Разложить на множители:  81а⁵ – а.

8.  Решить уравнение:  ( х – 2)² – 5 ( х – 3) ( х + 3) + 4 ( х – 1) ( х + 4) = 1.

9.  За 12 тетрадей и 8 карандашей заплатили 52 грн. Сколько стоит 1 тетрадь

    и 1 карандаш, если 7 тетрадей дороже четырёх карандашей на 13 грн.?

В – 2

1. Вычислить:  ( - 3)²⋅ ( - 2).

2. Упростить:  ( а² ⋅ а⁴)²

3.  Решить уравнение:  11 – 2х = 2 – 5х.

4.  Решением системы уравнений

         2х - у = 1,     есть пара чисел…

         х + у = 2

5. Установить соответствие между данными выражениями ( 1 – 4) и разложе –

   нием этих выражений на множители  ( А – Д)

6.  Найти координаты точки, в которой график уравнения 5х – 3у = 2 пересекает

    ось абсцис.

7.  Разложить на множители:  25а² – 10ав + в² - 1.

8.  Решить уравнение:  (2х – 3)² – 3 ( х – 2) ( х + 2) = ( х – 2) ( х + 1).

9.  За 2 футбольных и 6 баскетбольных мячей заплатили 520 грн. Сколько стоит

    каждый мяч, если 3 баскетбольных дороже одного футбольного на 160 грн.

Система оценивания:

V.  Дом. задание.  А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:  §1, п. 4. Уметь отвечать на вопросы со стр.32. Выполнить  №№ 116;  118; 

Урок 4.  Ромб и квадрат их свойств и признаки. Решение задач.

Цель:  Изучить свойства и признаки ромба и квадрата. Формировать умения у учащихся  применять свойства и признаки ромба и квадрата к решению задач.

Ход урока.

3. Орг. момент. Проверка дом. задания. Результаты диагностической контрольной работы.

4. Фронтальный опрос учащихся.

  1. Какую фигуру называют прямоугольником?

  2.  Сформулировать 1  и  2 свойства прямоугольника.

  3.  Сформулировать признак прямоугольника.

III.  Восприятие нового материала.

Определение.  Ромбом называется параллелограмм,  у которого все стороны равны.

     АВСД – ромб.   АВ = ВС = СД = АД.

Свойства ромба.

1.  Все свойства параллелограмма.

2. Теорема 5.1 Диагонали ромба перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Дано:  АВСД - ромб

  Доказать:  АС ⊥ ВД, АС и ВД – биссектрисы углов А, В, С, Д.

 Доказательство.

  Так как по определению все стороны ромба равны, то ∆АВС – равнобедр.

( АВ = ВС). АО = ОС ( по 2 свойству параллелограмма), тогда ВО – медиана ∆АВС и кроме того ВО – биссектриса и высота по по признаку. Слд. АС ⊥ ВД, АС и ВД – биссектрисы углов А, В, С, Д.

Распознавать ромбы среди параллелограммов позволяет не только определение ромба, но и его признаки.

Признаки ромба.

Признак 1 ( теорема 5.2):  Если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то это ромб.

                              Если АС ⊥ ВД, то АВСД – ромб

Признак 2 ( теорема 5.3):  Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов,

                        то это ромб.

            Если  АС и ВД – биссектрисы углов А, В, С, Д,  то АВСД – ромб.

Определение.  Квадратом называется прямоугольник у которого все стороны равны, или ромб,

             у которого все углы равны.

Свойства квадрата.

1.  У квадрата все углы прямые.

2.  Диагонали квадрата равны.

3.  Диагонали квадрата перпендикулярны и являются биссектрисами его углов.

Тест с выбором ответа.

1. АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей. АВ = 10 см, АО = 8 см. Найти: ВС.

   а)  10 см;     б)    8 см;      в)     6 см;     г)    14 см.

2.  АВСД – ромб, О – точка пересечения его диагоналей. АВ = 10 см, АО = 8 см, ДО = 6 см. Найти: ВС.

   а)  10 см;     б)    12 см;      в)     16 см;     г)    14 см.

3.  Найти стороны ромба, если его периметр равен 24 см.

   а)   12 см;    б)   24 см;    в)    6 см;    г)   8 см.

4.  АВСД – ромб, ∠АВД = 60º. Найти: ∠АСД.

   а)  60º;    б)   30º;    в)    90º;    г)   120º.

5.  Один из углов ромба равен 70º. Найти углы, образованные диагональю ромба с его сторонами.

  а) 70º, 70º, 110º, 110º;    б)  35º, 55º, 35º, 55º;         в)  70º, 70º, 20º, 20º;

6.  Найти углы ромба, если одна из его диагоналей равна стороне ромба.

  а)  30º, 60º, 30º, 60º;      б)  60º, 60º, 120º, 120º;       в)   30º, 60º, 120º, 90º; 

7.  Один из углов ромба равен 60º, а меньшая диагональ равна 10 см. Найти периметр ромба.

  а)   20 см;    б)    40 см;     в)    60 см;      г)    80 см.

8.  Найти периметр квадрата, если точка пересечения его диагоналей удалена от сторон

   квадрата на 5 см.

    а)   20 см;    б)    40 см;     в)    60 см;      г)    80 см.

9.  АВСД  и  СОДК – квадраты. Найти периметр СОДК, если диагональ квадрата АВСД равна

    8 см.

10.  В таблицу поставить знак +,  если геометрическая фигура имеет указанное свойство:

IV. Дом. задание.  А. Г.  Мерзляк,  В. Б. Полонский,  М. С. Якир  Геометрия – 8:  №№ 140,  145,169.