Цели урока: сформировать навыки исследования и построения графиков функции с помощью  производной. Развивать алгоритмическое мышление, память. Воспитывать у учащихся требовательность к себе, критическое отношение к результатам своей работы, настойчивость в достижении цели.

Тип урока: урок усвоения новых знаний.

Методы обучения: объяснительно-иллюстративный, проблемный, эвристический.

Форма обучения: наглядная, практическая, словесная

Оборудование: мультимедийный проектор, презентация, карточки с заданием для групп, ватманы и маркеры для групп.

Структура урока

1. Организационный момент
2. Сообщение темы, цели и задач урока
3. Актуализация опорных знаний учащихся
4. Первичное восприятие и осознание учащимися нового материала
5. Первичное применение приобретённых знаний
6. Подведение итогов урока
7. Сообщение домашнего задания

Ход урока

 ӏ  Организационный момент:

    -приветствие учащихся;

    - отметить отсутствующих на уроке;

    - записать дату урока, классная работа в тетради.

ӏӏ Сообщение темы, цели и задач урока.

  Учитель записывает на доске, а ученики в тетради: Применение производной при исследовании функции.

 Цель нашего урока: научиться исследовать функцию и строить её график с использованием производной. Эта тема в дальнейшем упростит нахождение свойств функции и построение графиков функций.

 Задача урока: научиться пользоваться алгоритмом исследования функции.

ӏӏӏ  Актуализация опорных знаний учащихся.

  (Фронтальный опрос  учащихся).

  Вопросы:

1. Что называется функцией?

         Если каждому значению переменной Х из некоторого множества D соответствует        единственное значение переменной У, то такое соответствие называется функцией. При этом Х называют независимой переменной, или аргументом, а У  -зависимой переменой, или функцией.

2. Что называется областью определения и областью значения функции?

         Множество всех значений, которые может принимать аргумент, называют областью определения данной функции и обозначают D. Множество значений, которые может принимать функция, называют областью значений и обозначают буквой Е.

3. Какая функция называется чётной (нечётной)?

        Функция называется чётной (нечётной), если область её определения симметрична относительно числа  0 и для каждого значения Х из области определения  f(-x)=f(x), (f(-x)=-f(x) ).

4. Какие точки называются критическими?

         Внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует, называют – критическими точками функции.

5. Дать определение, на каком промежутке функция возрастает, убывает, постоянная.

         Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка положительная, то функция на этом промежутке   возрастает. Если производная функции в каждой точке некоторого промежутка отрицательная, то функция на этом промежутке убывает. Если производная функции в каждой точке промежутка тождественно равна нулю, то на этом промежутке функция постоянная.

6. Как можно определить промежутки возрастания и убывания функции  f(x)?

         ӏ способ: нужно решить неравенства f᾽(x)>0 и f᾽(x)<0.

         ӏӏ способ: найти все критические точки функции, разбить ими область определения функции на промежутки, а потом исследовать, на каких из них функция возрастает, а на каких убывает.

7. Что называется точкой минимума (максимума) функции?

        Точка х₀ называется точкой минимума функции f(x), если для всех х (х≠х₀) из некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x₀)<f(x) (f(x₀)>f(x)).

8. Как, одним словом назвать точки максимума и минимума функции?

        Точки экстремума.

9. Как определить точки экстремума?

         Точка х₀, при переходе через которую в направлении роста аргумента производная меняет знак с «+» на «-» является точкой максимума, а точка при переходе через которую производная меняет знак с «-» ни «+»-точкой минимума.

ӏv  Восприятие и первичное осознание учащимися нового материала.

    Итак, теперь переходим к изучению новой темы.

    Исследовать функцию – это значит установить её свойства: указать D(f), E(f), промежутки возрастания и убывания, промежутки на которых функция принимает положительные значения, на которых принимает отрицательные, выяснить, не является ли данная функция чётной или нечётной и т.д.

    На слайде представлен график функции

1. D(f)=(-∞;+∞)
2. Функция ни чётная и ни нечётная
3. Нули функции: (-2;0) и (2;0)- с осью ОХ, (0;-8)-с осью ОУ
4. Функция возрастает на (-∞;-2] и [1;+∞), и убывает на [-2;1]
5. Точки экстремума Xmax =-2, Xmin=1. Экстремумы функции Ymax=0, Ymin=9,5

 Учитель продолжает объяснять новую тему: в данном случае, если нам известен график функции, то перечислить все свойства этой функции не составит труда.

 Решим обратную задачу: по известному аналитическому заданию функции перечислим все её свойства.

 Пусть функция задана в виде y=f(x), тогда необходимо выполнить исследование функции по следующей схеме (схема перед глазами учащихся на слайде презентации):

1. Найти область определения функции
2. Исследовать функцию на чётность, нечётность и периодичность
3. Найти нули функции (точки пересечения графика функции с осями координат)
4. Исследовать функцию на монотонность (найти промежутки возрастания и убывания функции)
5. Найти точки экстремума и экстремальные значения функции
6. Найти дополнительные точки (если нужно)
7. Построить график функции

Учитель на доске показывает образец  выполнения задания. (Учащиеся активно берут участие в исследовании функции и записывают решение в тетради).

Исследовать функцию и построить её график  f(x)=x³-3x²+2​

 v  Первичное применение приобретённых знаний

 Ученики заранее поделены на пять групп, каждая из которых получает карточку с заданием. В каждой группе назначается ответственный за выполнение задания и ходом его решения. Как только в группе будет найден ответ на первый пункт схемы исследования своей функции, сразу один из учеников выходит к доске и записывает его  и так далее до конца (в ходе выполнения задания все учащиеся группы выйдут к доске минимум один раз). Каждой группе выдан ватман и маркер, на котором ученики строят график своей функции с целью экономии времени и места на доске, так как одновременно все пять групп  записывают исследование своей функции на заранее разделенной на пять частей доске.

 Задание группы №1

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x³-2х²

Задание группы №2

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3x-x³

Задание группы №3

Исследовать функцию и построить её график f(x)=x³-6x

Задание группы №4

Исследовать функцию и построить её график f(x)=-2х⁴+2х²

Задание группы №5

Исследовать функцию и построить её график f(x)=3х⁴-6х²

vӏ Подведение итогов урока.

  Учитель выставляет оценки за роботу на уроке

   Учащиеся повторяют алгоритм исследования функции.

vӏӏ Сообщение домашнего задания.