Цели урока:

формирование представления о числовой последовательности как функции с натуральным аргументом;
формирование знаний о способах задания числовых последовательностей, умений находить члены последовательности по предложенной формуле, а также умений находить саму формулу, задающую последовательность;
развитие умений применять ранее изученный материал;
развитие умений анализировать, сравнивать, обобщать;
воспитание умений работать в паре, оценивать себя.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Подготовка к восприятию новых знаний.

Учащимся предлагается устно решить 2 задачи:

Задача № 1: На складе имеется 500 т угля, каждый день подвозят по 30 т. Сколько угля на складе будет в 1 день? 2 день? 3 день? 4 день? 5 день?

Задача № 2: При свободном падении тело проходит в первую секунду 4,9 м, и в каждую следующую на 9,8 м больше. Какое расстояние будет пройдено падающим телом за 1 сек? 2 сек? 3 сек? 4 сек? 5 сек?

Ответы учащихся записываются на доске: Зад.1: 500; 530; 560; 590; 620

Зад.2: 4,9; 14,7; 24,5; 34,3; 44,1

Задаются вопросы к задачам:

к задаче 1: Сколько угля будет на складе на 35 дней?

к задаче 2: Какое расстояние будет пройдено телом за 35 сек?

Для решения поставленных проблем, рассматриваем ответы к задачам как последовательность чисел, то есть числовые последовательности.

Ставится цель урока: Найти способы нахождения любого члена последовательности.

Задачи урока: Выяснить, что такое числовая последовательность и как задаются последовательности.

Записывается тема урока

3. Изучение нового материала.

1. Введение определения числовой последовательности.

Вводятся обозначения: y1,y2,y3,y4,y5,… - члены последовательности; 1,2,3,4,5,… - порядковый номер члена последовательности; (y2) – сама числовая последовательность

В ходе беседы определяем понятие числовой последовательности.

Наводящие вопросы: Зная номер члена последовательности, можем найти сам член последовательности? А наоборот? Как называются такие зависимости? Какой аргумент? Какое значение функции? Какая область определения?

Учащиеся записывают определение: Числовая последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел.

Устно решаем задания:

Определите, является ли указанное ниже соответствие последовательностью:

а) каждому натуральному числу ставится в соответствие его квадрат;
б) каждому натуральному числу ставится в соответствие число 7;
в) каждому натуральному четному числу ставится в соответствие его куб, а каждому натуральному числу, кратному 4 – число 9.

2. Определите, является ли заданная функция числовой последовательностью: (формулы записываются на доске)

а) y=2x-1, xI (0;+? ) б)

в) y=2x-1, xI Z          г) ?

Вывод: (формулируется совместно с детьми) Что главное в определении?

Числовая последовательность 1) функция 2) ее область определения – множество N.

2. Определение способов задания последовательностей.

Напоминается, что функция считается заданной, если определено правило, по которому любому аргументу ставится в соответствие значение функции.

Совместно формулируется (а затем, записывается) условие задания числовой последовательности: Числовая последовательность считается заданной, если указан способ, позволяющий найти член последовательности любого номера.

В ходе беседы вспоминаем способы задания функций (словесный, графический, формулой (сообщается, что он называется аналитический)), их суть.

На доску вывешивается схема:

А) Словесный способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Таблица №1 Способы задания числовой последовательности:

Способ

Пример

Описать словами способ получения каждого члена последовательности или задать несколько первых членов последовательности.

В таблицу №1 записываются словесные задания двух последовательностей:

Последовательность 1. (yn) – последовательность натуральных чисел, кратных 3.

Последовательность 2. (yn) – последовательность четных натуральных чисел.

Задание: Записать первые 5 членов последовательности. (Наводящие вопросы: что такое кратные 3, какие числа считаются четными). (Вызываются к доске 2 ученика)

Приведите свои примеры (устно).

Б) Графический способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Построить множество точек (n; yn)

Задание: Задать графически Последовательность 1 и 2 (два ученика на доске на готовой координатной плоскости, остальные в таблице №1)

В) Аналитический способ. На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Указать формулу n- го члена последовательности.

Задание: 1. Последовательность задана формулой: . Запишите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)

2. Задайте формулу n-го члена Последовательности 1 и 2 (Проговариваем устно, записывают в таблицу №1)

Г) Рекуррентный способ.

3. Задайте формулу n-го члена последовательности …, 74, 81, 88, 95, 102, …

А можно найти следующий член последовательности? А дальше? (Наводящий вопрос как из 74 получить 81, из 81 получить 88)

Вывод: Если будем знать n-1 член последовательности, то можно будет найти и n-ный.

Такой способ задания последовательности называется рекуррентным. (К схеме на доске добавляется запись рекуррентный)

В нашем примере yn =yn-1 + 7

Задание:

Каких данных нам для этого не хватает? А если последовательность задана формулой

yn = yn-1 + yn-2?

Вывод: Для рекуррентного задания последовательности необходимо:

1) знать один или два первых члена последовательности
2) указать правило для вычисления следующих членов последовательности

На доске появляется суть способа. Учащиеся записывают название способа и его суть в таблицу №1.

Выразить каждый член последовательности, начиная со 2-го (или 3-го) через предыдущие.

Задание: 1. Последовательность задана рекуррентно y1 =2, yn =5yn-1 Укажите первые 5 членов последовательности. (По одному ученику у доски с полным объяснением, остальные в тетради)

2. Задайте рекуррентно Последовательности 1 и 2 (проговариваем устно, записывают в таблицу №1)

Промежуточный итог: Мы получили 4 способа задания числовых последовательностей. Они представлены на доске и в таблице №1. Наиболее ценными для решения практических задач являются 2 последних способа: аналитический и рекуррентный. И мы сейчас поработаем с этими способами.

4. Первичное осмысление и закрепление материала

Инструкция: Перед Вами таблицы 2 и 3.

Таблица № 2: Аналитический способ Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5

Таблица № 3: Рекуррентный способ Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5

х1, х2, хn

В таблице представлен аналитический способ, в таблице 3 – рекуррентный. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.

Это задание уже не тривиально, оно требует определенной смекалки.

Над заданиями учащиеся работают в парах.

Первым парам, выполнившим задание, раздаются прозрачные пленки с заданием, куда они вписывают свои ответы.

Проверяются решения с помощью решений, записанных заранее на доске..

5. Первичный контроль усвоения знаний (самостоятельная работа с последующей самопроверкой)

Инструкция: Возьмите листы с таблицей №5.

Таблица № 5: Самостоятельная работа Задание: Заполнить таблицу

x1, x2, x3, x4, x5

Аналитический способ

Рекуррентный способ

500; 530; 560; 590; 620; …

4,9; 14,7; 24,5; 34,3; …

Критерии оценки: 4 «+» оценка «5»; 3 «+» оценка «4»; 2 «+» оценка «3»

Подпишите их. Задание в 1 и 2 строчках этих таблиц: по данным формулам задать первые 5 членов последовательности. Задание в 3 и 4 строчках этих таблиц: по первым членам последовательности задать соответствующую формулу.

Задания выполняются самостоятельно. После выполнения, проверяем решения.

Проверяются решения  (ответы записаны заранее).

Инструкция по проверке и оцениванию: Перед Вами ответы к заданиям. Сравните их с Вашими результатами. Если правильно, то поставьте «+», если нет, то «-». Затем посчитайте количество «+» и поставьте себе отметку в соответствии с теми критериями, которые у Вас записаны под таблицей. Если Вы хотите, чтобы полученная отметка была выставлена в журнал, то в скобках, рядом с оценкой запишите «в журнал».

6. Подведение итогов урока

Обращается внимание на последние 2 сточки в таблице5. Это последовательности к задачам начала урока. Напоминаются вопросы задач. Находим ответ на поставленные проблемы (спрашиваются 2 учащихся).

Фронтальным опросом вместе с учащимися делаются выводы урока:

Что такое последовательность
Какие существуют способы задания последовательностей? В чем их суть?
Какой из способов позволяет определить член последовательности зная только его номер?
Где применяются знания о числовых последовательностях?