Цель урока:  доказать формулы корней уравнений sin t = a, cos t = a; формировать у учащихся умения и навыки применения формул при решении простейших тригонометрических уравнений; показать возможности компьютера в процессе  изучения алгебры; развивать у учащихся интерес к математике, логическое мышление, умение самостоятельно добывать знания.

Тип урока:  урок усвоения знаний и умений.

Оборудование:  персональные компьютеры, компьютерная программа «Курс математики для школьников и абитуриентов» (автор Л.Я.Боревский), карточки - путеводители у каждого учащегося.

Ход урока:

І. Организационный момент.

ІІ. Проверка домашнего задания.

Фронтальный опрос класса.

Какую тему мы изучаем?
Какие тригонометрические функции вы знаете?
Дайте определение арксинуса.
Вычислите:

Дайте определение арккосинуса.

Вычислите:

По три человека из каждой группы (уровень Б) проверяют правильность выполнения заданий из домашней работы с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

Пуск – Программы – Курс математики – Тригонометрические функции – Практика –

Выбор номера задачи - №

№ 11.47

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арктангенс:

Находим область определения внутренней функции корень квадратный:

Ответ:

№ 11.49

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции корень арифметический :

Ответ:

№ 11.53

Найти область определения функции

Решение.

Находим область определения внешней функции арксинус :

Ответ:

№ 11.57

Решить уравнение 

Решение.

Ответ:

№ 11.61

Решить уравнение 

Решение.

Ответ:

№ 11.63

Решить уравнение 

Решение.

Ответ: уравнение не имеет решений

ІІІ. Мотивация учебного процесса.

В ІХ веке узбекский математик Мухамед аль-Хорезми написал книгу об уравнениях и их свойствах, которая называлась «Китаб аль-джебр аль-укабала». Конечно же это были простейшие уравнения. Позже эту книгу перевели на латынь, взяв для названия только ее второе слово, которое стали писать Algebr. Отсюда и пошло название науки об уравнениях – алгебра. И правда, какой бы раздел алгебры мы с вами не изучали, обязательным является решение уравнений. Вспомните, какие уравнения вы умеете решать? Какой раздел алгебры мы изучаем? Что мы уже знаем? Приходим к выводу, что учащиеся уже готовы решать тригонометрические уравнения. Какое же уравнение можно назвать тригонометрическим?

О п р е д е л е н и е.  Тригонометрическими уравнениями называются уравнения, в которых  переменная входит только под знак тригонометрической функции.

Сегодня на уроке мы должны научиться решать простейшие тригонометрические уравнения вида  . (Записываем в тетради тему урока)

IV. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения  .

Изложение нового материала (слайды демонстрируем на интерактивной доске)

Решим с помощью единичной окружности уравнение .

Найдем решение уравнения  для случая  .

Нарисуем единичную окружность и отметим на ней ось синусов  (синий отрезок).

Отложим на оси синусов заданное число а  (красна точка).

Проведем горизонтальную пунктирную прямую через отмеченную точку а.  Эта прямая пересечет единичную окружность в двух точках (зеленые точки).

Соединим центр окружности с двумя точками пересечения и получим два центральных угла.

По определению синуса угла, синусы этих углов равны заданному числу а.

Отметим на единичном круге область центральных углов , в которой определен арксинус (желтая дуга).

Замечаем, что один из углов попадает в область определения арксинуса и, следовательно, частное решение для этого случая будет иметь вид . Для получения общего решения надо добавить период синуса.

Второй частный ответ получим в силу симметрии тоже легко: .

И опять  для получения второго общего решения надо добавить период синуса.

Таким образом, общий ответ записываем в виде совокупности:

Хотя этот ответ абсолютно правильный в математике принято записывать его в хитром, но зато более лаконичном виде:

Теперь убедимся, что эта хитрая формула дает тот же ответ, который мы получили так просто. Для этого рассмотрим два случая:

Итак, мы пришли к первому из полученных нами решений.

Итак, мы пришли ко второму из полученных нами решений.

Для случая  мы уравнение решили. Ясно, что для области  мы получим точно такой же ответ. А вот если  или , то решение не существует, поскольку значения синуса ограничены отрезком .

Пример 1

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:  .

Пример 2

Решить уравнение .

Решение.

Ответ:

Пример 3

Решить уравнение

Решение.

Так как , то уравнение  решений  не имеет.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим частные случаи решения уравнения по таблице, предложенной каждому учащемуся в карточке-путеводителе.

Уравнение

Уравнение не имеет решений, так как

Уравнение не имеет решений, так как

Частные случаи

Работа в малых группах.

Каждая малая группа получает задание и обсуждает его решение в течение 1 – 2 минут. По истечении времени лист с решением сдается учителю. После чего учащиеся объединяются в новые группы и обсуждают решения заданий в других группах.

І группа

Решить уравнение:                   

ІІ группа

Решить уравнение:                 

ІІІ группа

Решить уравнение:                 

ІV группа

Решить уравнение:                 

В это же время по два человека из каждой группы решают задания на компьютере.

№ 11.01

Решить уравнение

№ 11.02

Решить уравнение

№ 11.03

Решить уравнение

V. Восприятие и осмысление материала о решении уравнения

Предлагаем учащимся уровня А изучить теорию с помощью компьютера. Учащиеся получают карточки с указанием пути.

Пуск – Программы – Курс математики – Тригонометрические функции – Теория –

Простейшие тригонометрические уравнения –

Учащиеся уровня Б пишут математический диктант. Один ученик работает у переносной доски.

Математический диктант

Начертите единичную окружность.
Выделите синим цветом ось косинусов.
Выберите на оси косинусов точку  красным цветом.
Через точку а  проведите вертикальную пунктирную черту и обозначьте точки пересечения ее с окружностью в І четверти , в ІV четверти .
Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
Запишите значение центрального угла , которое соответствует точке .
Начертите три единичные окружности и покажите частные случаи решения уравнения  при .

Учащиеся, изучающие теорию с помощью компьютера, возвращаются в группы.

Проверяем выполнение математического диктанта с помощью интерактивной доски и таблицы в карточке-путеводителе

Уравнение                                      

3.    По три человека с каждой группы за компьютером решают упражнения  №№ 11.07, 11.09, 11.11.   Остальные учащиеся работают в тетрадях.

№ 11.07

Решить уравнение

№ 11.09

Решить уравнение

№ 11.11

Решить уравнение

Дополнительное задание

Придумайте уравнение, которому соответствует решение:

Дополнительное задание

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения
Найдите все корни уравнения , удовлетворяющие неравенству                                              .

VІ. Подведение итогов урока (по интерактивной технологии «Микрофон»)

Что нового вы узнали на уроке?
Как записывают общее решение уравнения ?
Как записывают общее решение уравнения ?
Зачем определяют частные случаи решения простейших тригонометрических уравнений?
Что понравилось (не понравилось) на уроке?

VII. Домашнее задание