Основная задача факультатива: расширить пространственные представления учащихся, развивать умения выполнять чертежи, развивать логическое мышление учащихся 5-6 классов

Программа по математике 5-6 классов не предусматривает сообщение учащимся систематических сведений о геометрических фигурах, как на плоскости, так и в пространстве.

Не секрет что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным воображением. Все психологические процессы, в том числе и пространственное воображение, совершенствуется в результате деятельности. Эта деятельность должна чем-то стимулироваться и направляться, т. е. необходима система управления.

Факудьтатив  по данной теме предусматривает ознакомление учащихся с историей развития геометрии, с видами фигур на плоскости и в пространстве, их свойствами, распознавание видов по моделям, чертежам и рисункам, изготовление разверток куба, параллелограмма, цилиндра, куба. Все это основывается на развитии логического мышления, на решении нестандартных и занимательных задач. Хочется заметить, что для решения многих из этих задач не надо специальных знаний, т. е. они под силу учащимся 3-5-6 классов.

Работу  кружка   можно построить по данному плану:

I.       Вводный тест                                               

II.      Из истории развития геометрии                        

III.    Выход в пространство:

        1.Фигуры на плоскости

(точка, отрезок, треугольник, прямоугольник, квадрат,
параллелограмм, трапеция)                              

Решение устных задач.                                
Догадайся! (упражнения, развивающие
наблюдательность и сообразительность)    
Найди аналогии, (упражнения на нахождение
сходства между объектами).                          .
Головоломки со спичками

(палочками)                                                    

Иллюзии и невозможные объекты.                    
Задачи на построение.                                     
Измерение площадей, объектов (практикум)   
Фигуры в пространстве (распознание видов по
моделям, чертежам, рисункам).                        
Изготовление разверток куба, параллелепипеда,
цилиндра, конуса.                                           
Вычисление площадей, объемов (по формулам,
выполненным измерениям).                             
Тест

Основные требования к умениям учащихся.

Учащиеся обязаны знать:

Свойства фигур на плоскости (отрезок, треугольник,
прямоугольник, квадрат)
Формулы площадей и объемов

Учащиеся обязаны уметь:

Выполнять построения фигур
Выполнять построения чертежей, разверток
Работать с измерительными приборами

В данной статье  предложена подборка упражнений и заданий к  некоторым темам данного плана.

                                    ТЕСТ                    

1. На рис. 1 изображены геометрические тела. укажите среди этих тел:
1)      параллелепипеды; 2) призмы; 3) пирамиды; 4) многогранники.

2. Если у прямоугольного параллелепипеда закрасить одним цветом
параллельные ребра, то цветов потребуется

1)2; 2); 6; 3)3.

3.Сколько маленьких кубиков пошло на строительство «здания», изображенного на рис. 2: 1) 60; 2) 66; 3) 82?

          4. Сколько граней у неоточенного шестигранного карандаша:

1) 6; 2)8; 3) 10?

5.На столе стоит куб, а вокруг него летают бабочки, и каждая норовит

занять всю его грань. Сколько бабочек найдут себе место на этом кубе:

1)4; 2)6; 3)5?

6. Девочка делает елочную игрушку из бумаги в форме кубика. Каждое

его ребро надо заклеить полоской для прочности. Сколько полосок для этого понадобится:

1) 6; 2)8; 3) 12?

7. В каждую вершину бумажного кубика девочка воткнула булавку с

цветной головкой. Сколько булавок она израсходовала:

1)4;   2)6; 3)8?

8. Дана призма, основанием которой является восьмиугольник.
Сколько у этой призмы:

а) вершин
1)16; 2)18; 3)8?

б) ребер

1) 16; 2)24; 3) 32?

в) гранен

1)8; 2)10; 3) 12?

9. Сколько потребуется проволоки для изготовления каркасной модели

шестиугольной пирамиды, все ребра которой равны 5 см:

1) 30 см; 2) 60 см; 3) 80 см?

10. У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин у основания этой

пирамиды:

1)1883; 2) 1884; 3)1882?

11. Гусеница может ползти вдоль ребра четырехугольной пирамиды
только в одном направлении. Допустим, она стартовала из вершины А
основания и движется только по ребрам основания. Сколько ребер ей надо
проползти, чтобы закончить путь в точке А:

1)4 ребра; 2) 5 ребер; 3) 6 ребер?

Пирамиды и может спуститься к основанию только по боковому
ребру. Сколькими способами он может это сделать 1)5; 2)4; 3) 6?
У пятиугольной пирамиды ребер всего 1) 5; 2) 10; 3) 6?
У треугольной пирамиды всего 1) 3 ребра; 2) 4 ребра; 3) 6 ребер?
У четырехугольной пирамиды всего 1)4 ребра; 2)8 ребер; 3)5 ребер?
У п -угольной пирамиды всего 1)2л ребер, 2)л ребер, 3)2п - 1 ребер?

Рис  2                                       

Конструктивные задачи

Как перекроить параллелограмм в треугольник
Как перекроить параллелограмм в прямоугольник?

Проведите прямую так, чтобы она пересекла все стороны: а)
треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г)
выпуклого шестиугольника.
Как посадить 9 деревьев в 10 рядов по 3 дерева в каждом
ряду?

Решение: см. рис..

Как расположить 10 монет в 5 рядов по 4 монеты в каждом
ряду?
Хотят убедиться, что кусок Материи имеет форму квадрата.
Для этого его дважды перегибают, сначала по одной, потом
по другой диагонали. Образующиеся треугольники оба раза
совпадают. Можно ли считать, что кусок квадратный?

рис.

Аналогия

Аналогия - -мыслительная операция, с помощью которой находится сходство между объектами в некотором отношении. Использование аналогии в математике является одним из основных методов при поиске решения задачи. Нередко рассуждения по аналогии приводят к требуемому результату.

Задачи этой серии направлены на отработку таких познавательных приемов, как проведение словесных аналогий и нахождение аналогий между фигурами. Суть этих заданий состоит в следующем.

В верхнем ряду заданы три объекта. Между первыми двумя из них есть определенная связь. Нужно ее установить и, рассуждая аналогично, подобрать из нижнего ряда объект, имеющий такую же связь с третьим объектом в верхнем ряду. При решении подобных задач проявляются такие элементы творческой деятельности, как перенос знаний и умений в новую ситуацию, видение новой функции объекта, видение структуры объекта.

На рисунке в верхнем ряду изображены три фигуры. Подумайте, как связаны первые две из них, и укажите в наборе (а - - г) четвертую фигуру, которая точно так же связана с третьей.

Анализ и синтез

Это важнейшие мыслительные операции. Анализ связан с выделением элементов данного объекта, его признаков или свойств. Синтез — это соединение различных элементов, сторон объекта в единое целое. В мыслительной деятельности анализ и синтез дополняют друг друга; так, анализ осуществляется через синтез, синтез - - через анализ. Способность к аналитико-синтетической деятельности находит свое выражение не только в умении выделять элементы того или иного объекта, его различные признаки или соединять элементы в единое целое, но и в умении включить его в новые связи, увидеть его новые функции. Формированию таких черт творческой деятельности могут способствовать задания, в которых объект рассматривается с точки зрения различных понятий, а также постановка различных вопросов относительно данного геометрического объекта.

"Геометрические фигуры "

Сколько треугольников вы видите на рис. 1? Есть ли здесь
четырехугольники? Сколько их?
Сколько квадратов изображено на рис. 2? Имеются ли среди них
равные?
Найдите у прямоугольника АВСО отрезок СО. Что вы можете рассказать о нем?
(СО - - сторона прямоугольника; СО равна противоположной сто­-
роне АВ; СО меньше, чем ВС.}
Проведи отрезки так, чтобы они разделили пятиугольник на пять
треугольников. Сколько отрезков ты провел?
Начертите треугольник. Проведите в нем отрезок так, чтобы он
разделил треугольник на четырехугольник и треугольник. Периметр
какой фигуры больше?
Деревянный окрашенный кубик распилили пополам. Сколько стало
окрашенных и неокрашенных граней у каждой половины?

7.Квадратный лист бумаги разрежьте на две неравные части, а затем
составьте из них треугольник.

8.Из   листа   бумаги,   окрашенного   с   одной   стороны,   вырезали
   равносторонний треугольник. Как разрезать этот треугольник на
    три части так, чтобы из них можно было составить прямоугольник,
   окрашенный с одной стороны?

Сравнение

Это такая мыслительная операция, с помощью которой устанавливаются сходство и различие предметов. Формирование умения пользоваться этим приемом следует осуществлять поэтапно:

а) выделение признаков или свойств одного объекта; б) установление сходства или различия между признаками двух объектов; в) выявление сходства между признаками трех, четырех и более объектов.

Показатель сформированности приема сравнения -- умение детей самостоятельно использовать его при решении различных задач без указания: "Сравни...", "Укажи признаки...", "В чем сходство и различие...".

           Устные задачи

          1.Разделите круглый сыр тремя разрезами  на 8 частей. [Ответ на рис. I].

         2 Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной
каждого была целая спичка. [Треугольная пирамида с ребром, равным спичке.]

         3.Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех
остальных. [Ответ на рис. 2.]

        4.Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? [Можно. См. рис. 3.]

        5.Вырезать из целого листа бумаги такую же фигуру, как на рис. 4 а).[Прямоугольный лист разрезать по отрезкам а, Ь, с (рис. 3 б).), заштрихованную часть  повернуть около прямой 1 на 180°].

На рис. 1 любой математик видит куб, а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты...

Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивительно: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа      (рис.6,а), а другой - снизу и слева (рис. 6,6). Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение той реальности, о которой говорится в конкретной задаче. Но многие учащиеся долго не могут, этому научится. Помогите им еще в средних классах школы, предложив специальные упражнения.

Закройте листом цветной бумаги переднюю грань куба и опишите
свои впечатления
Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь
передать свои впечатления рисунком. На что похож ваш рисунок: на
шкафчик? полочку?
Что вы видите на рис. 2? [Брусок с углублением (задняя стенка
углубления - - плоскость АВ), или брусок с выступающим шипом, где АВ -
его передняя грань, или открытую часть пустого ящика с прилегающим к
стенкам изнутри кирпичом.]
На рис. 3 а фигура не дорисована (верхняя часть изображения
закрыта листом бумаги). Дорисуйте ее. (Ребята обычно дорисовывают
фигуру так, на  рис. б  или в и не видят никакой ловушки. Она становится
ясна только при взгляде на рис. 4, в. Теперь учащиеся понимают, что таких
фигур, как на рисунке  в реальности не существует.)
Поясните, может ли существовать не на бумаге, а в жизни фигура,
показанная на рис. 4.

На рисунке 5 а, лучи, пресекающие параллельные прямые а и Ь
искажают их и они кажутся нам выгнутыми, а на рисунке 5 б, наоборот
параллельные прямые кажутся вогнутыми.
, Изображен квадрат АВСВ, хотя мы создается впечатление, что
мы видим трапецию.

Стереометрические задачи

Стереометрия - это раздел математики,  в котором  изучается фигуры в пространстве.

Мысленно сверните куб и определите, какая грань является
верхней, если нижняя грань заштрихована.
Какие точки совместятся при сборке данной развертки куба
Какие    из    изображенных    кубов    можно    сложить    из
предложенной развертки (см. рис. 7)?

                    Фигуры в пространстве

1. В наборе имеющихся рисунков геометрических фигур (куба,
прямоугольной пирамиды, конуса...) найти чертеж соответствующий
данной модели.

2. В наборе имеющихся чертежей геометрических фигур (куба,
прямоугольной пирамиды, конуса...) найти чертеж:, соответствующий
модели данной фигуры.

3. В наборе имеющихся рисунков геометрических фигур (куба,
треугольной призмы, конуса, цилиндра...) найти рисунок, соответствующий
данному чертежу.

4. На каркасной модели прямоугольного параллелепипеда с
обозначенными вершинами, указать ребра, параллельные ребру АА}, АО;

ребра, перпендикулярные АА],АД указать ребра, перпендикулярные на модели и сохраняющие видимую перпендикулярность на чертеже; указать ребра, перпендикулярные на модели и не сохраняющие видимую перпендику­лярность на чертеже. Сохраняют ли параллельность на чертеже ребра, параллельные на модели (все выводы проверить с помощью необходимых чертежных инструментов)?

                5.   На чертеже прямоугольного параллелепипеда выделены некоторые точки, указать их на модели данной фигуры.

«Площадь фигур»

Начертите какой-нибудь небольшой квадрат. Как надо изменить его
стороны, чтобы построить квадрат, площадь которого была бы: 1)
вчетверо больше? 2) в 9 раз больше? 3) в 16 раз больше? Проверьте
решение построением.
Даны три одинаковых квадрата со сторонами 2 см каждый. Какими
прямоугольниками можно заменить эти три квадрата так, чтобы
площадь каждого прямоугольника была равна сумме площадей
этих  квадратов.  Длины  сторон  прямоугольников  должны  быть
выражены целыми числами. Постройте эти прямоугольники.
Из 22 спичек сложить прямоугольник наибольшей площади.

4. Отмотайте от катушки кусочек нити. Отрежьте его и свяжите         концы. Положите эту связанную нить на лист клетчатой бумаги (рис. 1). Какую форму следует придать нити, чтобы она охватила наибольшую площадь?

Из 12 спичек можно сложить фигуру креста, площадь которого равна пяти спичечным квадратам. Измените расположение спичек так, чтобы контур фигуры охватывал площадь, равную только четырем спичечным квадратам.

Литература для учителя

Возняк Г. М., Литвиненко Г. М., Маранюк М. П.
Математика: Проб. Ученик для 5 кл. сред. шк.
К.:Осв1та, 1996г.
Литвиненко Г. М., Возняк Г. М. Математика: проб.
Ученик для 6 кл. средней шк. К: Осв1та, 1995 г.
Якиманская Н. С. Развитие пространственного
мышления школьников. - М.: Педагогика, 1980.
Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения:
Опыт теоретического и экспериментального
исследования. М.: АПН СССР, 1986.
Заика Е. В. комплекс интеллектуальных игр для

развития мышления учащихся. Вопросы психологии. 1994. № 6

6.  Лернер И. Я. Дидактические основы методов
обучения. М.: Педагогика, 1981.