Цель: ознакомить учащихся с понятием экстремальные задачи; составить алгоритм их решения с помощью производной; раскрыть область применения производной, показать, что производная – способ исследования процессов действительности и современного производства. Формировать единую научную картину мира. Развивать исследовательские навыки; познавательный интерес, логическое мышление, умение анализировать, сравнивать, видеть аналогию задач.

         Воспитывать трудолюбие, внимание, ответственность, требовательность к себе; волю и настойчивость в достижении конечной цели; развивать навыки коллективной работы.

Компетентности: информационная, поликультурная, коммуникативная, социальная, саморазвития и самообразования, продуктивной творческой деятельности.

Оборудование: компьютер, проектор, презентации, выставка исследовательских работ.

Методы и приемы: проблемно-поисковые, индуктивные, словесные, практические, самостоятельная работа.

Ожидаемые результаты: после этого урока учащиеся усвоят понятие экстремальные задачи и  научатся решать их по алгоритму.

Алгоритм М-М₁₆.

1. Организационный момент.

За неделю до начала урока учащиеся объединились в группы «Историки», «Исследователи», «Знатоки», «Практики». Каждая группа получила задание: отработать дополнительную литературу, справочники, интернет и найти в разных сферах экстремальные задачи, а также подготовить исторический материал. Собранный материал представить в виде презентаций.

Группы докладывают о готовности к уроку. Каждому ученику выдается  оценочный лист, в котором он  выставляет себе баллы за участие в каждом этапе модуля.

2. Проверка домашней работы.

Тетради с домашним заданием собираются в конце урока.

3. Мотивация учебной деятельности.

На экране портрет И.Ньютона.

Учитель. Ребята, представьте: Англия, 1666год. И.Ньютон, ему лишь 23 года, и именно он делает прорыв в математике – открывает производную. И все. Жизнь Европы с этого момента кардинально изменилась..

    Развитие научно-технического прогресса, войны, изготовление оружия, эпидемии и открытие целительного пенициллина, запуск космических ракет и создание ядерных реакторов – основанием всему послужило дифференциальное исчисление. От высоких достижений до стремительных падений шагала рядом производная.

Ученица декламирует стихотворение «Производная и ее применение».

    Вона на вигляд недолуга:

    Стришок маленький, та й усе.

    Але яку значну потугу

    Цей ледь помітний знак несе!

              Це символ моря знань високих,

              Яке не має меж і дна.

              Не ступите не раз, ні кроку

              Без терміну, що зветься «похідна».

    Відкрий секрети нам науки,

    Поживу дай уму й душі,

    Хай вдячно нам потиснуть руки

Ньютон и Лейбніц, і Коші.

    На предыдущих уроках вы познакомились с применением производной для исследования и построения графиков функций, нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

    А сегодня вы узнаете, как с помощью производной можно решать интересные задачи прикладного характера.

4.  Объявление темы, цели, задач урока.

Достичь успеха можно только тогда, когда определена цель и задачи, который каждый ставит перед собой. Сегодня наша цель – усвоить какие задачи называются экстремальными и научиться решать их по алгоритму.

5. Актуализация опорных знаний.

Устные упражнения

1. Задание в тестовой форме проектируется на экран. По сигналу учителя правильный ответ показывают с помощью карточек. Каждый правильный ответ оценивается в 0,5 балла.

Найти производную (презентация №1):

2. По схематическому графику функции в окрестности точки х₀ охарактеризуйте поведение f ׳(x₀) и f ׳(x), определите вид критической точки x₀.

Каждый правильный ответ оценивается в 0,5 балла:

3. Презентация (Задание №3):                             

VI/ Восприятие и усвоение новых знаний.

Группа «Историки» - историческая справка (презентация оценивается в 5 баллов)

Нашей группе было поручено выяснить, кто из ученых ввел понятие экстремальные задачи. Работать над проектом «История возникновения экстремальных задач» было не только легко и интересно, но и эффективно.

С незапамятных времен перед человеком возникают практические проблемы нахождения наибольшего и наименьшего, наилучшего и наихудшего. Как правило, в задачах подобного рода достижение некоторого результата может быть осуществлено не единственным способом и приходится отыскивать наилучший способ достиже­ния  результата.

Однако в одной и той же задаче в разных ситуациях наилучши­ми могут быть совершенно разные решения. Здесь все зависит от выбранного или заданного критерия. Например, каковы должны быть наилучшие очертания судна? Ответы будут разными в зависимости от того, для каких целей предназначается судно. Для разных целей различны будут и главные критерии. Критерии мо­гут быть следующими:

1) необходимо, чтобы судно при движении испытывало в воде наименьшее сопротивление (это главный критерий быстроходного судна);

   2) необходимо, чтобы судно было максимально, устойчивым при сильном волнения и сильном ветре;

3) необходимо, чтобы судно имело наименьшую осадку (в слу­чае, если судно предназначается для эксплуатации на мелких во­доемах).

Задачи такого характера, получившие название экстремальных задач, возникают  в самых различных областях человеческой деятельности.

Содержание рассматриваемых задач самое разнообразное, разнообразны и методы их решения. Однако общее в решении экстремальных задач заключается в самом характере применения того или иного математического метода.

Задачи на отыскание максимума и минимуме называются экстре­мальными задачами. Почти тот же смысл вкла­дывается в термин «задачи оптимизации». Разные причины побуждают людей решать задачи на экстремум. Добиться наивысшего при заданных условиях результата (прибыли, мощности, скорости) или понести наимень­шие потери (времени, материалов, энергии) — желание вполне понятное и естественное. По­этому задачи оптимизации играют большую роль в экономике и технике.

Другая причина может показаться неожиданной: как выяснилось, многие законы при­роды основаны на экстремальных принципах. Например, луч света распространяется по са­мому быстрому пути. Пифагору принадлежит высказывание: «Прекраснейшим телом явля­ется шар, а прекраснейшей плоской фигу­рой — круг». Почему круг и шар — «прекраснейшие»? Николай Коперник в бессмертной книге «Об обращениях небесных сфер» даёт та­кой ответ: «Мир является шарообразным... по­тому, что эта форма обладает наибольшей вместимостью, что более всего приличествует тому, что должно объять всё». Иначе говоря, размышляя о строении мира, Коперник пола­гал, что его «архитектура» подчинена принци­пам экстремальности и совершенства.

Задачи на максимумы и минимумы всегда привлекали внимание математиков. Встреча­ются они и в трудах трёх величайших геомет­ров Древней Греции — Евклида, Аполлония Пергского и Архимеда.

К 30-м гг. XVII в. появилась необходимость отыскать какие-то общие методы решения экстремальных задач. Первый аналитический приём был найден Пьером Ферма. Открытие состоялось, по-видимому, в 1629 г., но впервые автор достаточно полно изложил свой метод только в 1636 г. в зна­менитой книге Иоганна Кеплера  «Новая стерео­метрия винных бочек» (1615 г.), учёный решил множество интересных задач на максимум и минимум. Кеплер писал: «Вблизи макси­мума изменения <функции> бывают нечувстви­тельными». На геометрическом языке мысль Кеплера и результат Ферма можно выразить так-в точке экстремума касательная к графику функ­ции должна быть горизонтальной (если каса­тельная не горизонтальна, то изменения функ­ции «чувствительны»). Ньютон высказал ту же мысль по-другому: «Когда величина является максимальной или минимальной, она не течёт ни вперёд, ни назад».

В 1684 г. появи­лась работа Готфрида Вильгельма Лейбница «Новый метод нахождения наибольших и наи­меньших значений...», в которой заложены основы математического анализа. Уже само название труда показывает, какую важную роль сыграла задача о нахождении экстремума в становлении современной математики. Боль­шинство излагаемых Лейбницем фактов было к тому времени известно Ньютону, но работ на эту тему до 1736 г. он не публиковал.

Следующий шаг в теории экстремума был сделан, когда стали искать кривые, наилучшие с той или иной точки зрения. Первую задачу такого рода решил Ньютон. Это техническая задача о поверхности вращения, испытыва­ющей наименьшее сопротивление в некой «редкой» среде. (Но решение Ньютона, данное им в «Математических началах натуральной философии» (1687 г.), так до конца и не поня­ли вплоть до середины XX в., когда появилось новое направление в теории экстремума, на­званное оптимальным управлением, -- одним из его создателей был российский математик Лев Семёнович Понтрягин.)

7. Итог модуля.

Итог модуля проводим в форме интерактивной игры «Микрофон»

Вопрос классу: •на этом модуле мы повторили…?

Ожидаемые ответы: Нахождение производной элементарных и сложных функций; экстремальные точки; нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

•Что нового узнали?

Алгоритм М-М₁₇.

1. Восприятие и усвоение новых знаний.

Учитель. Древняя китайская мудрость гласит: «…Покажи мне и я запомню. Дай мне действовать самому – и я научусь…»

У вас была возможность действовать самим. Посмотрим чему вы научились.

1. Группа «Историки» (Презентация)

Ученик. Поручено создать алгоритм решения экстремальных задач с помощью производной.Работали под девизом «Знания только тогда знания, когда они добываются усилиями своих мыслей, а не только памятью»

2. «Исследователи»

Ученик. Получили задание: найти интересные задачи по математике, которые решаются с помощью производной.

Отработали учебники, по которым обучаемся, затем учебники с углубленным изучением математики. Поняли, что без понятия «производная» как без оружия.

Предлагаем решить задачу.

Слайд 1

4. Группа «Практики»

Ученик. Мы ознакомились с задачами, которые встречаются в экономике. Среди них наиболее характерные:

2.  Итог модуля.

1. Воспроизведите алгоритм решения экстремальных задач.
2. Оценивание презентаций (оценивается в 5 баллов).

Алгоритм М-М₁₈.

1. Формирование навыков и умений.

Решение задач (учебник: Алгебра 11, Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова).

№828 (коллективно):

         Какую наибольшую площадь может иметь прямоугольник, вписанный в фигуру, ограниченную осью Ох и графиком функции у = 4-х² (рис.1).

№826 – работа в парах (3 балла):

         Какими должны быть размеры бассейна объемом 32м³ с квадратным дном и вертикальными стенами, чтобы на его облицовку использовали наименьшее количество плитки?

№831 - работа в группах (4 балла).

         Емкость легких человека, возраст которого не менее 10 лет приближенно выражается функцией t(x)=, где х є [10;100]  - возраст человека в годах, t(x) – емкость легких человека  в литрах. Установите, в каком возрасте емкость легких человека максимальная и чему она равна.

ІІ.    Итог модуля.

    Оценивание учащихся.

ІІІ. Домашнеее задание.

         Решить задачу №834 (учебник: Алгебра 11, Г.П.Бевз, В.Г.Бевз, Н.Г.Владимирова):

1. в общем  виде;
2. выполнить вычисления, взяв реальные размеры банки:

   - под консервированную кукурузу;

   - под консервированные ананасы.

3. Сравнить и ответить на вопрос: «Несут ли нерациональные затраты на изготовление банки производственники?»