Главная » Разработки уроков » Математика

Комбинаторика уже в 6 классе

     Успешное решение проблемы приобщения школьников к творческой деятельности и развитие творческих способностей при обучении математике связано с необходимостью разработки творческих задач и методов их использования в учебном процессе.

     В предлагаемых методических рекомендациях представлены задачи по комбинаторике для учащихся 5-7 классов. Цель этих задач – показать учащимся метод решения комбинаторных задач, для решения которых достаточно сведений, полученных в ходе изучения математики.

    Предлагаемый материал рекомендуется учителям в качестве пособия для внеклассной работы и работы с одаренными детьми.

     Материал составлен  учителем математики ОШ №1, г.Горловки, Донецкой области, Вдовенко И.П.

Комбинаторика уже в 6 классе.

               Сложность изучения комбинаторики может быть связана с введением новых понятий и формул, громоздкими вычислениями. Но можно избежать всего этого, приучая учащихся уже в 6 классе к простейшим логическим навыкам с отчетливым выяснением всех шагов логического заключения. Всю работу с учащимися по решению комбинаторных задач можно строить с постепенным нарастанием трудностей.

              На первом этапе учащихся можно ознакомить с перестановкой заданного количества элементов в определенном порядке и подсчетом количества таких перестановок. Но лучше, если ученики придут к этому выводу самостоятельно, в результате решения и анализа специально подобранных задач.

Задача 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3? Цифры не                 должны  повторяться.

              Опыт показывает: первое, что начинают делать ученики, это составляют всевозможные числа. Сначала те, которые начинаются с единицы, потом – с двойки и, наконец, с тройки. Подсчитав их количество – дают ответ.

Усложним задачу.

Задача 2. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 5,6,7,8? Цифры не                 должны повторяться.

               Ученики проделывают те же операции, как и в предыдущей задаче, но уже замечают, что достаточно составить все числа, начинающиеся с «5» и умножить полученное количество чисел на количество цифр

Рассмотрим еще более сложную задачу.

Задача 3. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7,9 так, чтобы цифры не повторялись?

              Для решения этой задачи надо проанализировать предыдущие решения, ход их рассуждения и поставить перед учащимися ряд вопросов, помогающих сделать общие выводы.

               Рассмотри еще раз подробно решение второй задачи. Первой цифрой числа можно поставить любую из четырех цифр. Это можно сделать четырьмя способами. Тогда второй цифрой можно поставить любую из трех оставшихся цифр (так как цифры не должны повторяться). Это можно сделать тремя способами. Как же определить общее количество способов?

1 ряд                 5                               6                            7                             8

2 ряд        6       7       8              5       7       8          5       6       8          5       6       7

3 ряд     7    8  6    8  6   7

                     Так как каждой из четырех цифр первого ряда соответствует три цифры второго ряда, то общее количество способов равно произведению . Третьей цифрой можно поставить любую из оставшихся  двух цифр. Так как каждой цифре второго ряда, а их количество , соответствует по две цифры третьего ряда, то общее количество способов будет . И последней цифрой можно поставить одну оставшуюся цифру единственным способом.

           Таким образом, из четырех цифр можно составить  =24 четырехзначных числа, цифры в которых не повторяются.

            Вероятно, учащиеся найдут верное решение, рассуждая по-другому.

            При решении таких задач используется правило произведения (основное правило комбинаторики), которое заключается в следующем: «если два различных действия можно выполнить – первое n способами, а второе m способами, то оба действия можно выполнить nm способами». Поясним на картинках:

     Выбрать блузку и юбку можно тремя

     способами.

Блузку можно выбрать двумя способами, так как их 2, а юбку – тремя. Значит, выбрать блузку и юбку можно 2 способами.

      Блузку можно выбрать тремя

      способами, так как их 3 и юбку

      можно выбрать 3 способами – их

      тоже 3. Значит, выбрать блузку и

      юбку можно  способами.

            Вернемся к задаче 2: выбор цифр на первое место осуществляется четырьмя способами, на второе – тремя способами, на третье – двумя, на четвертое – одним. То есть, общее количество способов равно .

               Данное правило по своей природе является определением и его скорее нужно понимать, нежели доказывать.

               Решение такого рода математических задач, бесспорно, относится к творческой деятельности. Комбинаторные задачи не требуют знаний, выходящих за пределы школьной программы, но они требуют высокой сосредоточенности и умения рассуждать.

Задача 4. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4?

Решение. Первой можно взять любую из четырех цифр. Это – 4 способа. Так как цифры могут повторяться, то второй можно взять также любую из четырех цифр. Это еще 4 способа. На третье и четвертое место можно использовать любую из данных цифр. Это еще по 4 способа. Значит, всего  способов. Таким образом, из цифр 1,2,3,4 можно составить 256 четырехзначных чисел.

Упражнения для закрепления.

Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную в словах «Украина», «Комбинаторика»?
Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5, если числа должны быть нечетными и цифры могут повторяться?

Решение. На первое место можно выбрать любую из пяти цифр (кроме 0). На второе и третье места можно взять любую из шести цифр, так как цифры могут повторяться. На последнее место можно выбрать любую из трех нечетных цифр. Таким образом, общее количество четырехзначных нечетных чисел будет .

Шесть подруг обменялись фотографиями. Каково общее число фотографий?
Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9?
Сколько трехзначных кодов можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9? (Учитывая 000,001,…).
Некто забыл номер телефона, состоящий из различных шести цифр, но помнит, что первые цифры 47-8. Какое наибольшее число проб надо сделать, чтобы дозвониться абоненту?
В пассажирском поезде 14 вагонов. Сколькими способами можно распределить по вагонам 14 проводников, если за каждым вагоном закрепляется один проводник?
Из цифр 1,2,3,4,5 составлены всевозможные пятизначные числа без повторения цифр. Выясните, сколько среди этих чисел таких, которые:

А) начинаются цифрой 3;

Б) не начинаются с цифры 5;

В) начинаются с 54;

Г) не начинаются с 543.

      9.  Сколько различных номеров для машин можно составить из цифр 2,4,6,8 и букв

           Е,А,В?

     10. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех полос различных

           цветов, если имеется материал пяти цветов?

     11. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать

           одну пару печаток так, чтобы перчатки были различных размеров?

     12. Сколькими способами 10 человек могут разместиться в очереди в кассу?

     13. Сколько видов расписаний на 6 уроков из десяти предметов?

     14. Сколько пятизначных чисел, которые делятся на 5?

     15. В соревнованиях участвуют 15 футбольных команд. Сколькими способами между

           ними могут распределиться золотая и серебряная медали?

     16. Телефонная станция обслуживает абонентов с семизначными номерами телефонов,

           которые начинаются на 128. Сколько различных абонентов может обслуживать эта

           станция?

     17. Сколько двузначных чисел, у которых обе цифры четные?

18. Сколько пятизначных чисел, у которых все цифры нечетные?

19. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7, если:

      а) цифры не повторяются;

      б) цифры могут повторяться;

      в) числа должны делиться на 5 и все цифры различны;

      г) числа должны быть четными и цифры могут повторяться.

21. Корабли, заходя в порт, подают сигналы, поднимая на мачте флаги. Сколько сигналов

      можно подать, если есть флаги четырех цветов и каждый сигнал подаётся:

      а) двумя флагами;

      б) тремя флагами;

      в) четырьмя флагами.

22. Сколько можно составить различных телефонных номеров, у которых на первом месте

      стоит цифра 5, на втором – 2 или 9, на третьем – любая четная цифра, а на четвертом и

      пятом – любые цифры?

         Следующий этап лучше начинать с разбора такой задачи.

Задача. Семь юношей играли в теннис. Сколько было сыграно партий?

Решение. Каждый из юношей сыграл 6 партий. Всего 7 юношей. Тогда, казалось бы, было сыграно партии. Но при таком подсчете каждая партия считается дважды. Следовательно, число сыгранных партий будет

Задача. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги из пяти?

Решение. Первой он может взять любую из пяти книг. Это можно сделать пятью способами. Тогда второй книгой он выберет любую из четырех. Это будет сделано четырьмя способами. А третью он выберет из оставшихся трех книг. При этом будет еще три способа. Таким образом, общее количество способов будет . Но при таком подсчете учитывается порядок книг, то есть перестановка книг между собой, что нам совершенно не обязательно. Таких перестановок будет =6 (см. 1 этап решения комбинаторных задач). Разделив 60 на 6 получим 10 – искомое число способов.

Упражнения для закрепления.

23. Сколькими способами из 30 шестиклассников можно выбрать делегацию, состоящую

      из трех человек?

24. В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать из них трех членов в Совет

      школы?

25. Сколькими способами можно выбрать командира и четырех его помощников из 15

      человек?

26. Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими

      способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?

27. В классе 20 человек. Пятеро из них должны ехать на ученическую конференцию.

      Сколько может быть различных составов этой группы, если командир отряда, его

      заместитель и член Совета школы одновременно уезжать не должны?

28. В фортепианном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова –

     15, в вокальном кружке – 12 и в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами

      можно составить команду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного

      фотографа?

29. Имеется 12 красных гвоздик, 10 – белых, 7 – розовых. Сколько существует способов

      составления букета из пяти цветов?

30. 7 яблок и 3 апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был

      хотя бы один апельсин и количество фруктов в них было одинаково. Сколькими

      способами это можно сделать?

31. В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить

      караул, состоящий из трех солдат и одного офицера ?

32. Из 10 тюльпанов и 8 нарциссов нужно составить букет так, чтобы в нем были 2

      тюльпана и 3 нарцисса. Сколько таких букетов можно составить?

33. На окружности отмечено 8 различных точек.

      а) Сколько хорд можно провести, соединяя любые две из этих точек;

      б) Сколько различных треугольников с вершинами в данных точках можно построить;

      в) Сколько выпуклых четырехугольников с вершинами в данных точках можно

      построить?

34. Агрохимик проверяет шесть типов минеральных удобрений; ему нужно провести

      несколько опытов по изучению совместного влияния любой тройки удобрений. Для

      каждого опыта берется участок 0,25 га. На какой площади проводится все

      исследование?

35. В одном учреждении был обнаружен несгораемый шкаф, сохранившийся с довоенных

      лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться надо знать код; дверь

      шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери пять кружков с алфавитом

      (36 букв) устанавливались в определенном порядке. На составление одной комбинации

      требовалось 3 секунды. Можно ли открыть шкаф в ближайшие 10 рабочих дней? 

Комбинаторика уже в 6 классе

Скачать конспект (695.5Kb)



Автор разработки: Вдовенко И. П.

Учебный предмет: Математика

Выставить рейтинг разработки урока:


Просмотров: 1135 | Загрузок: 68 | Комментариев: 0

Ключевые слова: комбинаторика

Похожие конспекты:
Всего комментариев: 0
Имя *:
Email *:
Код *:
Достижения
Почтовый адрес
452750, Башкортостан, г. Туймазы,
ул. Луначарского, средняя школа
№ 4, ГК «РАЙМАНТАУ»